Simulic
Português

Identidades trigonométricas – fundamentais, adição de arcos, arco duplo e R cos(θ − α)

MatemáticaTrigonometriaIdades 16–17

Carregando…

Usar com minha turma ✨ Personalizar com IA Relatar um problema

Arraste ângulos no ciclo trigonométrico e no diagrama de triângulos retângulos empilhados para verificar, geométrica e numericamente, sen²θ + cos²θ = 1, 1 + tg²θ = sec²θ, 1 + cotg²θ = cossec²θ, as fórmulas de adição sen(α ± β), cos(α ± β) e tg(α ± β) e as do arco duplo. Uma tela de ondas junta a cos θ + b sen θ em R cos(θ − α) ou R sen(θ + α), e um verificador de identidades traça os dois membros de qualquer igualdade que você digitar.

Aula: Identidades trigonométricas: relações fundamentais, fórmulas de adição e de arco duplo, forma a cos θ + b sen θ = R cos(θ − α)

O que mostra

Cada identidade é construída com triângulos retângulos. No ciclo trigonométrico, os triângulos de lados cos θ, sen θ, tg θ e cotg θ dão as três relações fundamentais. Dois triângulos retângulos empilhados dentro de um retângulo, com ângulo α e depois β e hipotenusa 1, dão sen(α ± β) e cos(α ± β) como as coordenadas de P; dividindo uma pela outra obtém-se tg(α ± β). Um triângulo inscrito numa semicircunferência dá as fórmulas do arco duplo. A tela de ondas mostra que a cos θ + b sen θ é uma única senoide de amplitude R = √(a² + b²). Os diagramas usam ângulos de 0° a 90°, mas as fórmulas valem para quaisquer ângulos.

Como usar

Escolha uma tela. Em Fundamentais, arraste P ou o controle θ e clique numa identidade para destacar seu triângulo. Em Adição de arcos, arraste Q para mudar α e P para mudar β, alternando entre α + β e α − β. Em a cos θ + b sin θ, ajuste a e b e arraste sobre o gráfico. Em Verificar identidade, escolha um Exemplo ou digite os dois membros.

Parâmetros que você pode mudar

  • Tela Fundamentais, Adição de arcos, Arco duplo, a cos θ + b sen θ, Verificar identidade
  • Ângulo θ (telas Fundamentais, Arco duplo, a cos θ + b sen θ) 0–360 °
  • Ângulo α (tela Adição de arcos) 0–90 °
  • Ângulo β (tela Adição de arcos) 0–90 °
  • Operação (tela Adição de arcos) α + β, α − β
  • Coeficiente a de cos θ -5–5
  • Coeficiente b de sen θ -5–5
  • Forma reduzida R cos(θ − α), R sen(θ + α)
  • Identidade de exemplo (tela Verificar identidade) sen²x + cos²x = 1, 1 + tg²x = sec²x, 1 + cotg²x = cossec²x, sen 2x = 2 sen x cos x, cos 2x = 1 − 2sen²x, tg 2x = 2tg x / (1 − tg²x), sen(x + π/3) = sen x cos π/3 + cos x sen π/3, cos(x − π/4) = cos x cos π/4 + sen x sen π/4, 3cos x + 4sen x = 5cos(x − α), tg α = 4/3, tg x + cotg x = sec x cossec x, (1 − cos 2x)/sen 2x = tg x, sen 2x = 2sen x ?, cos(x + π/4) = cos x + cos π/4 ?, (sen x + cos x)² = 1 ?

Perguntas para explorar

  1. No retângulo, quais segmentos medem sen α cos β e cos α sen β, e por que somam sen(α + β)?
  2. Com a = 3 e b = 4, qual é o valor máximo de 3 cos θ + 4 sen θ e em que ângulo ele ocorre?
  3. Por que cos(x + π/4) = cos x + cos π/4 não é uma identidade, e que contraexemplo você encontra?

Simulações relacionadas