Equações trigonométricas elementares no círculo trigonométrico

O que mostra

O círculo trigonométrico e o gráfico da função, lado a lado, explicam por que as equações trigonométricas elementares têm famílias de soluções. Em sin x = m, a reta y = m corta o círculo em dois pontos simétricos em relação ao eixo vertical: x = α + k2π ou x = π − α + k2π. Em cos x = m, os pontos são simétricos em relação ao eixo horizontal: x = ±α + k2π. Em tan x = m, os dois pontos distam π, então basta uma família α + kπ. Seno e cosseno exigem |m| ≤ 1; a equação com tangente sempre tem solução.

Como usar

Escolha uma Equação e comece pelos botões rápidos m = 1/2, m = √2/2 e m = 1, comparando os pontos marcados no círculo com as interseções no gráfico. Depois mova devagar o Valor de m para além de 1 e de −1 e veja as soluções desaparecerem. Mude para tan x = m e repita. Desative Mostrar gráfico da função para que os alunos prevejam a família de soluções só pelo círculo.

Parâmetros que você pode mudar

• Equação sin x = m, cos x = m, tan x = m
• Valor de m -2–2
• Mostrar gráfico da função

Perguntas para explorar

1. Por que sin x = 1 dá apenas uma família de soluções, e não duas?
2. A equação cos x = 1,5 tem solução, e como o círculo trigonométrico mostra isso?
3. Por que as soluções de tan x = m se repetem a cada π, e não a cada 2π?