Trigonometrische Identitäten – Pythagoras, Additionstheoreme, Doppelwinkel und R cos(θ − α)

Was sie zeigt

Jede Identität wird aus rechtwinkligen Dreiecken aufgebaut. Am Einheitskreis liefern die Dreiecke mit den Seiten cos θ, sin θ, tan θ und cot θ die drei Formen des trigonometrischen Pythagoras. Zwei rechtwinklige Dreiecke, in einem Rechteck gestapelt, mit dem Winkel α und dann β und der Hypotenuse 1, liefern sin(α ± β) und cos(α ± β) als Koordinaten von P; ihr Quotient ergibt tan(α ± β). Ein Dreieck im Halbkreis liefert die Doppelwinkelformeln. Der Wellen-Bildschirm zeigt, dass a cos θ + b sin θ eine einzige Sinusschwingung mit der Amplitude R = √(a² + b²) ist. Die Figuren verwenden Winkel von 0° bis 90°, die Formeln gelten aber für alle Winkel.

So funktioniert es

Wählen Sie einen Bildschirm. Ziehen Sie unter Pythagoras P oder den θ-Regler und klicken Sie auf eine Identität, um ihr Dreieck hervorzuheben. Ziehen Sie unter Additionstheoreme Q für α und P für β und wechseln Sie zwischen α + β und α − β. Stellen Sie unter a cos θ + b sin θ die Werte a und b ein und ziehen Sie am Graphen. Wählen Sie unter Identität prüfen ein Beispiel oder geben Sie beide Seiten ein.

Einstellbare Parameter

• Bildschirm Pythagoras, Additionstheoreme, Doppelwinkel, a cos θ + b sin θ, Identität prüfen
• Winkel θ (Bildschirme Pythagoras, Doppelwinkel, a cos θ + b sin θ) 0–360 °
• Winkel α (Bildschirm Additionstheoreme) 0–90 °
• Winkel β (Bildschirm Additionstheoreme) 0–90 °
• Rechenart (Bildschirm Additionstheoreme) α + β, α − β
• Koeffizient a von cos θ -5–5
• Koeffizient b von sin θ -5–5
• Zusammengefasste Form R cos(θ − α), R sin(θ + α)
• Beispiel-Identität (Bildschirm Identität prüfen) sin²x + cos²x = 1, 1 + tan²x = 1/cos²x, 1 + cot²x = 1/sin²x, sin 2x = 2 sin x cos x, cos 2x = 1 − 2sin²x, tan 2x = 2tan x / (1 − tan²x), sin(x + π/3) = sin x cos π/3 + cos x sin π/3, cos(x − π/4) = cos x cos π/4 + sin x sin π/4, 3cos x + 4sin x = 5cos(x − α), tan α = 4/3, tan x + cot x = 1/(sin x cos x), (1 − cos 2x)/sin 2x = tan x, sin 2x = 2sin x ?, cos(x + π/4) = cos x + cos π/4 ?, (sin x + cos x)² = 1 ?

Fragen zum Erkunden

1. Welche Strecken im Rechteck sind sin α cos β und cos α sin β lang, und warum ergeben sie zusammen sin(α + β)?
2. Welchen Höchstwert hat 3 cos θ + 4 sin θ für a = 3 und b = 4, und bei welchem Winkel wird er erreicht?
3. Warum ist cos(x + π/4) = cos x + cos π/4 keine Identität, und welches Gegenbeispiel finden Sie?