Identidades trigonométricas – pitagóricas, suma de ángulos, ángulo doble y R cos(θ − α)

Qué muestra

Cada identidad se construye con triángulos rectángulos. En la circunferencia goniométrica, los triángulos de lados cos θ, sen θ, tan θ y cot θ dan las tres identidades pitagóricas. Dos triángulos rectángulos apilados dentro de un rectángulo, con ángulo α y luego β e hipotenusa 1, dan sen(α ± β) y cos(α ± β) como las coordenadas de P; al dividirlas se obtiene tan(α ± β). Un triángulo inscrito en una semicircunferencia da las fórmulas del ángulo doble. La pantalla de ondas muestra que a cos θ + b sen θ es una sola sinusoide de amplitud R = √(a² + b²). Los diagramas usan ángulos de 0° a 90°, pero las fórmulas valen para cualquier ángulo.

Cómo usarla

Elige una pantalla. En Pitagóricas, arrastra P o el deslizador θ y pulsa una identidad para resaltar su triángulo. En Suma de ángulos, arrastra Q para cambiar α y P para cambiar β, y alterna entre α + β y α − β. En a cos θ + b sin θ, ajusta a y b y arrastra sobre la gráfica. En Comprobar identidad, elige un Ejemplo o escribe los dos miembros.

Parámetros que puedes cambiar

• Pantalla Pitagóricas, Suma de ángulos, Ángulo doble, a cos θ + b sen θ, Comprobar identidad
• Ángulo θ (pantallas Pitagóricas, Ángulo doble, a cos θ + b sen θ) 0–360 °
• Ángulo α (pantalla Suma de ángulos) 0–90 °
• Ángulo β (pantalla Suma de ángulos) 0–90 °
• Operación (pantalla Suma de ángulos) α + β, α − β
• Coeficiente a de cos θ -5–5
• Coeficiente b de sen θ -5–5
• Forma reducida R cos(θ − α), R sen(θ + α)
• Identidad de ejemplo (pantalla Comprobar identidad) sen²x + cos²x = 1, 1 + tan²x = sec²x, 1 + cot²x = cosec²x, sen 2x = 2 sen x cos x, cos 2x = 1 − 2sen²x, tan 2x = 2tan x / (1 − tan²x), sen(x + π/3) = sen x cos π/3 + cos x sen π/3, cos(x − π/4) = cos x cos π/4 + sen x sen π/4, 3cos x + 4sen x = 5cos(x − α), tan α = 4/3, tan x + cot x = sec x cosec x, (1 − cos 2x)/sen 2x = tan x, sen 2x = 2sen x ?, cos(x + π/4) = cos x + cos π/4 ?, (sen x + cos x)² = 1 ?

Preguntas para explorar

1. En el rectángulo, ¿qué segmentos valen sen α cos β y cos α sen β, y por qué suman sen(α + β)?
2. Con a = 3 y b = 4, ¿cuál es el valor máximo de 3 cos θ + 4 sen θ y en qué ángulo se alcanza?
3. ¿Por qué cos(x + π/4) = cos x + cos π/4 no es una identidad, y qué contraejemplo encuentras?