Formules de trigonométrie – Pythagore, addition, duplication et R cos(θ − α)

Ce qu’elle montre

Chaque formule se construit avec des triangles rectangles. Sur le cercle trigonométrique, les triangles de côtés cos θ, sin θ, tan θ et cot θ donnent les trois relations de type Pythagore. Deux triangles rectangles empilés dans un rectangle, avec l'angle α puis β et une hypoténuse égale à 1, donnent sin(α ± β) et cos(α ± β) comme coordonnées de P ; leur quotient donne tan(α ± β). Un triangle inscrit dans un demi-cercle donne les formules de duplication. L'écran des ondes montre que a cos θ + b sin θ est une seule sinusoïde d'amplitude R = √(a² + b²). Les figures utilisent des angles de 0° à 90°, mais les formules sont vraies pour tous les angles.

Mode d’emploi

Choisissez un écran. Dans Pythagore, faites glisser P ou le curseur θ et cliquez sur une relation pour mettre son triangle en valeur. Dans Addition, faites glisser Q pour changer α et P pour changer β, et passez de α + β à α − β. Dans a cos θ + b sin θ, réglez a et b et faites glisser sur le graphique. Dans Vérifier une identité, choisissez un Exemple ou saisissez les deux membres.

Paramètres modifiables

• Écran Pythagore, Addition, Duplication, a cos θ + b sin θ, Vérifier une identité
• Angle θ (écrans Pythagore, Duplication, a cos θ + b sin θ) 0–360 °
• Angle α (écran Addition) 0–90 °
• Angle β (écran Addition) 0–90 °
• Opération (écran Addition) α + β, α − β
• Coefficient a de cos θ -5–5
• Coefficient b de sin θ -5–5
• Forme réduite R cos(θ − α), R sin(θ + α)
• Identité d'exemple (écran Vérifier une identité) sin²x + cos²x = 1, 1 + tan²x = 1/cos²x, 1 + cot²x = 1/sin²x, sin 2x = 2 sin x cos x, cos 2x = 1 − 2sin²x, tan 2x = 2tan x / (1 − tan²x), sin(x + π/3) = sin x cos π/3 + cos x sin π/3, cos(x − π/4) = cos x cos π/4 + sin x sin π/4, 3cos x + 4sin x = 5cos(x − α), tan α = 4/3, tan x + cot x = 1/(sin x cos x), (1 − cos 2x)/sin 2x = tan x, sin 2x = 2sin x ?, cos(x + π/4) = cos x + cos π/4 ?, (sin x + cos x)² = 1 ?

Questions à explorer

1. Dans le rectangle, quels segments mesurent sin α cos β et cos α sin β, et pourquoi leur somme vaut-elle sin(α + β) ?
2. Pour a = 3 et b = 4, quelle est la valeur maximale de 3 cos θ + 4 sin θ et pour quel angle est-elle atteinte ?
3. Pourquoi cos(x + π/4) = cos x + cos π/4 n'est-elle pas une identité, et quel contre-exemple trouvez-vous ?