المساحة بين منحنيين – التكامل المحدد كنهاية لمجموع

ماذا تعرض

مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيي f وg من x = α إلى x = β هي S = ∫|f(x) − g(x)| dx، وعادة ما تكون α وβ نقطتي تقاطع المنحنيين. تُقسَّم المنطقة إلى شرائح رأسية رفيعة عرضها dx وارتفاعها |f − g|؛ وكلما ازداد عدد الشرائح اقترب مجموع مساحاتها من القيمة الدقيقة للتكامل، وهذا هو معنى التكامل المحدد بوصفه نهاية لمجموع. وحيث يتبادل المنحنيان موقعيهما تتغير إشارة f − g، لذا يجب تجزئة التكامل عند نقاط التقاطع أو أخذ القيمة المطلقة.

طريقة الاستخدام

اختر «زوج المنحنيات»، وفي زوجي القطوع المكافئة غيّر «المعامل k» لتحريك نقطتي التقاطع α وβ. ابدأ بعدد صغير من «الشرائح» ثم زِده، وقارن مجموع الشرائح بالقيمة الدقيقة للتكامل ولاحظ تناقص الخطأ. ثم انتقل إلى y = sin x وy = cos x وناقش لماذا يجب أخذ القيمة المطلقة لـ f − g عندما يتبادل المنحنيان موقعيهما.

المعاملات القابلة للتغيير

• زوج المنحنيات y = x² وy = k, y = sin x وy = cos x, y = x² وy = k − x²
• المعامل k 0.5–6
• عدد الشرائح 4–120

أسئلة للاستكشاف

1. ما المساحة الدقيقة بين y = x² وy = 4، وما مدى اقتراب 24 شريحة منها؟
2. لماذا يجب استخدام القيمة المطلقة لـ f − g عند حساب المساحة بين منحنيين؟
3. عند مضاعفة k في الزوج y = x² وy = k، هل تتضاعف المساحة أم تزداد أسرع من ذلك؟