كثيرات حدود تايلور وماكلورين – تقريب الدوال

ماذا تعرض

تطابق كثيرة حدود تايلور من الدرجة n الدالةَ ومشتقاتها الأولى حتى الرتبة n عند المركز a: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)/k!·(x − a)ᵏ، وعندما a = 0 تسمى كثيرة حدود ماكلورين. بالقرب من a تلتصق كثيرة الحدود بالمنحنى، وكلما ابتعدنا عن a كبر الخطأ |Rₙ(x)|. ويحدّ حد لاغرانج M|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! هذا الخطأ، أما الدوال ln(1 + x) و 1/(1 − x) و arctan x فلا تتقارب متسلسلاتها إلا على فترة. وتقارن شاشة الزوايا الصغيرة sin θ ≈ θ و cos θ ≈ 1 − θ²/2 و tan θ ≈ θ، حيث θ بالراديان.

طريقة الاستخدام

اختر «الدالة f(x)»، ثم حرّك «الدرجة n» و«المركز a» و«النقطة x»، أو اسحب على الرسم: قرب المعيّن الأزرق تحرّك a، وفي أي مكان آخر تحرّك x. اضغط «▶ زيادة n» لترى كثيرة الحدود تقترب من المنحنى. غيّر «حد السماح ε» واقرأ أين يبقى الخطأ أقل منه. وفي «الزوايا الصغيرة» اسحب منزلق «الزاوية θ» وقارن القيم في الجدول.

المعاملات القابلة للتغيير

• الشاشة كثيرة حدود تايلور, الزوايا الصغيرة
• الدالة f(x) sin x, cos x, eˣ, ln(1 + x), 1/(1 − x), arctan x
• الدرجة n 0–15
• المركز a -3–3
• النقطة x التي يُفحص عندها الخطأ -6–6
• حد السماح ε 0.1, 0.01, 0.001
• تظليل فترة التقارب
• إظهار نطاق الخطأ ±ε
• الزاوية θ (شاشة الزوايا الصغيرة) 0–90 °

أسئلة للاستكشاف

1. بالنسبة إلى sin x حول a = 0، ما أول درجة n تجعل الخطأ عند x = 2 أقل من 0.01؟
2. لماذا تجعل زيادة الدرجة n تقريب ln(1 + x) أسوأ عند x = 1.5؟
3. حتى أي زاوية تقريبًا بالدرجات يبقى التقريب sin θ ≈ θ دقيقًا في حدود 1 %؟