Aire entre deux courbes

Ce qu’elle montre

L'aire du domaine compris entre les courbes de f et de g, de x = α à x = β, vaut S = ∫|f(x) − g(x)| dx, où α et β sont en général les abscisses des points d'intersection. Le domaine est découpé en fines bandes verticales de largeur dx et de hauteur |f − g| ; quand le nombre de bandes augmente, leur aire totale se rapproche de la valeur exacte de l'intégrale : c'est le sens de l'intégrale comme limite de sommes. Là où les courbes échangent leur position, f − g change de signe : il faut alors couper l'intégrale aux points d'intersection ou prendre la valeur absolue.

Mode d’emploi

Choisissez le Couple de courbes et, pour les deux couples avec paraboles, modifiez Paramètre k pour déplacer les intersections α et β. Commencez avec un petit Nombre de bandes puis augmentez-le, en comparant la somme des bandes à l'intégrale exacte et en regardant l'erreur diminuer. Passez ensuite à y = sin x et y = cos x et discutez pourquoi il faut prendre |f − g| lorsque les courbes échangent leur position.

Paramètres modifiables

• Couple de courbes y = x² et y = k, y = sin x et y = cos x, y = x² et y = k − x²
• Paramètre k 0,5–6
• Nombre de bandes 4–120

Questions à explorer

1. Quelle est l'aire exacte entre y = x² et y = 4, et à quel point 24 bandes s'en approchent-elles ?
2. Pourquoi faut-il utiliser la valeur absolue de f − g pour calculer l'aire entre deux courbes ?
3. Si l'on double k pour y = x² et y = k, l'aire double-t-elle ou augmente-t-elle plus vite ?