Fläche zwischen zwei Graphen

Was sie zeigt

Der Flächeninhalt zwischen den Graphen von f und g von x = α bis x = β ist S = ∫|f(x) − g(x)| dx, wobei α und β meist die Schnittstellen der beiden Kurven sind. Die Fläche wird in schmale senkrechte Streifen der Breite dx und der Höhe |f − g| zerlegt; mit wachsender Streifenzahl nähert sich deren Gesamtfläche dem exakten Wert des Integrals. Das ist die Bedeutung des bestimmten Integrals als Grenzwert von Summen. Wo die Kurven ihre Lage oben und unten tauschen, wechselt f − g das Vorzeichen, sodass das Integral an den Schnittstellen aufgeteilt oder mit Betrag berechnet werden muss.

So funktioniert es

Wählen Sie das Kurvenpaar und ändern Sie bei den beiden Parabelpaaren Parameter k, um die Schnittstellen α und β zu verschieben. Beginnen Sie mit einer kleinen Anzahl der Streifen und erhöhen Sie sie; vergleichen Sie die Streifensumme mit dem exakten Integral und beobachten Sie, wie der Fehler kleiner wird. Wechseln Sie dann zu y = sin x und y = cos x und besprechen Sie, warum f − g im Betrag genommen werden muss, wenn die Graphen ihre Lage tauschen.

Einstellbare Parameter

• Kurvenpaar y = x² und y = k, y = sin x und y = cos x, y = x² und y = k − x²
• Parameter k 0,5–6
• Anzahl der Streifen 4–120

Fragen zum Erkunden

1. Wie groß ist die exakte Fläche zwischen y = x² und y = 4, und wie nah kommen 24 Streifen heran?
2. Warum muss bei der Fläche zwischen zwei Kurven der Betrag von f − g verwendet werden?
3. Verdoppelt sich die Fläche zwischen y = x² und y = k, wenn k verdoppelt wird, oder wächst sie schneller?