المنحنيات الوسيطية – السرعة المتجهة وdy/dx وطول القوس
الرياضياتالتفاضل والتكامل16–17 سنة
جارٍ التحميل…
سجّل الدخول للتشغيلارسم منحنيات معطاة بالدالتين x(t) وy(t): مستقيم، دائرة، قطع ناقص، مقذوف مع g = 9.81 m/s²، منحنيات ليساجو، منحنى دويري، أو صيغ من اختيارك. اسحب t لتحريك النقطة وشاهد متجهي السرعة والتسارع، والمماس مع dy/dx = y′/x′، والمعادلة الديكارتية الناتجة عن حذف t، وطول القوس ∫√(x′² + y′²) dt الذي يقترب منه خط منكسر من n قطعة.
الدرس: المعادلات الوسيطية والدوال المتجهة
ماذا تعرض
يعطي المنحنى الوسيطي كلا الإحداثيين دالتين في وسيط t، فتصف x = x(t) وy = y(t) مسارًا يُرسم في اتجاه محدد. وإذا عددنا t زمنًا صار المنحنى حركة: متجه السرعة هو (x′, y′)، ومقدار السرعة √(x′² + y′²)، والتسارع (x″, y″). والميل dy/dx = y′/x′، وهو غير معرّف حيث x′ = 0، ويعطي حذف t المعادلة الديكارتية. وطول القوس هو تكامل مقدار السرعة. تُحسب المشتقات هنا بالفروق المركزية والتكامل بقاعدة سمبسون، لذا فالقيم تقريبات دقيقة.
طريقة الاستخدام
اختر «المنحنى»، ثم اسحب النقطة الحمراء P أو منزلق «الوسيط t»، أو اضغط «تشغيل». غيّر a وb لتغيير شكل المنحنى. استخدم «السرعة والتسارع» و«المماس» و«الخط المنكسر» لإظهار كل عنصر، وزِد «عدد قطع الخط المنكسر n» لترى Lₙ يقترب من L في الجدول. لتجربة منحنى آخر اكتب x(t) وy(t) ومدى t: أي تعديل ينقلك إلى «x(t)، y(t) من اختيارك».
المعاملات القابلة للتغيير
- المنحنى مستقيم, دائرة, قطع ناقص, مقذوف (g = 9.81 m/s²), منحنى ليساجو, منحنى دويري, x(t)، y(t) من اختيارك
- صيغة x(t) (منحنى من اختيارك)
- صيغة y(t) (منحنى من اختيارك)
- قيمة البداية t₀ (منحنى من اختيارك)
- قيمة النهاية t₁ (منحنى من اختيارك)
- الموضع الابتدائي لـ t (نسبة مئوية من مدى t) 0–100 %
- عدد قطع الخط المنكسر n 1–64
- إظهار متجهي السرعة والتسارع
- إظهار المماس
- إظهار الخط المنكسر
أسئلة للاستكشاف
- على الدائرة، لماذا يكون التسارع عموديًا على السرعة المتجهة دائمًا؟
- في أي مواضع من القطع الناقص يكون المماس رأسيًا، وماذا يحدث لـ dy/dx هناك؟
- كم قطعة يحتاج الخط المنكسر لكي يقل Lₙ عن طول قوس المنحنى الدويري بأقل من 1 %؟
