Área entre duas curvas
MatemáticaCálculoIdades 17–18
Use com a sua turma: os alunos abrem por um link ou QR code, sem precisar de conta.
Continue em Cálculo
Escolha um par de curvas e veja a região do plano entre elas ser sombreada. A simulação divide a região em faixas finas para mostrar que ∫(f − g)dx é o limite da soma das áreas das faixas quando o número de faixas cresce, e avisa quando os dois gráficos trocam de posição (qual fica por cima) dentro do intervalo, caso em que a integral deve ser dividida conforme o sinal de f − g.
Aula: Aplicações geométricas da integral: área entre curvas
O que mostra
A área da região entre os gráficos de f e g de x = α até x = β é S = ∫|f(x) − g(x)| dx, em que α e β costumam ser os pontos de interseção das duas curvas. A região é dividida em faixas verticais estreitas de largura dx e altura |f − g|; quando o número de faixas aumenta, a área total delas se aproxima do valor exato da integral, que é o significado da integral definida como limite de somas. Onde as curvas trocam de posição, f − g muda de sinal, então a integral precisa ser dividida nos pontos de interseção ou calculada com valor absoluto.
Como usar
Escolha o Par de curvas e, nos dois pares com parábolas, mude Parâmetro k para mover as interseções α e β. Comece com um Número de faixas pequeno e aumente-o, comparando a soma das faixas com a integral exata e vendo o erro diminuir. Depois passe para y = sin x e y = cos x e discuta por que f − g deve ser tomado em valor absoluto quando os gráficos trocam de lugar.
Parâmetros que você pode mudar
- Par de curvas y = x² e y = k, y = sin x e y = cos x, y = x² e y = k − x²
- Parâmetro k 0,5–6
- Número de faixas 4–120
Perguntas para explorar
- Qual é a área exata entre y = x² e y = 4, e quanto 24 faixas se aproximam dela?
- Por que é preciso usar o valor absoluto de f − g ao calcular a área entre duas curvas?
- Quando k dobra em y = x² e y = k, a área dobra ou cresce mais depressa?
