راسم التفاضل والتكامل – f و f′ و f″ والمشتقة العكسية

ماذا تعرض

تساوي المشتقة f′(a) ميل المماس لمنحنى f عند x = a: تكون موجبة حيث تتزايد f، وسالبة حيث تتناقص، وتنعدم عند القيم العظمى والصغرى المحلية. والمشتقة الثانية f″ هي مشتقة f′، وتصف تقعر المنحنى. أما المشتقة العكسية F فهي دالة مشتقتها f؛ وهنا F(x) = C + ∫ f(t)dt من x₀ إلى x، فتتزايد F حيث f > 0، ويساوي التغير في F المساحة المؤشرة بين منحنى f ومحور السينات. وتحسب شاشة «القواعد» المشتقات بقواعد الضرب والقسمة والسلسلة، وتتحقق منها بالميل العددي (f(a + h) − f(a − h))/(2h).

طريقة الاستخدام

في شاشة «المشتقة» اختر أداة من «اثنِ f بأداة:» واسحب على منحنى f، ثم فعّل «خط مرجعي» و«المماس» لقراءة القيم عند نقطة. في «التكامل» غيّر «البداية x₀» و«الثابت C» وفعّل «تظليل المساحة». في «توقّع» اختر «المشتقة f′» أو «المشتقة العكسية F»، وارسم منحناك ثم اضغط «قارن بالإجابة». في «القواعد» اختر القاعدة والدالتين، واسحب الخط المرجعي.

المعاملات القابلة للتغيير

• الشاشة المشتقة, التكامل, متقدم, تدريب على التوقع, قواعد الاشتقاق
• الدالة الابتدائية تل واحد, f = 0, f = sin x, f = x²
• أداة ثني المنحنى تل, مثلث, قطع مكافئ, موجة جيبية, رسم حر, إزاحة لأعلى/لأسفل, إمالة
• عرض الأداة σ 0.3–3
• نقطة بداية التكامل x₀ -6–6
• ثابت المشتقة العكسية C -3–3
• إظهار منحنى المشتقة الثانية f″
• إظهار الخط المرجعي
• إظهار المماس
• تظليل المساحة من x₀ إلى a
• القاعدة (شاشة القواعد) الدوال الأساسية, المجموع ومضاعف الثابت, قاعدة الضرب, قاعدة القسمة, قاعدة السلسلة
• الدالة u (الدالة الخارجية f في قاعدة السلسلة) xⁿ, eˣ, aᵏˣ, ln x, sin x, cos x, tan x, kx
• الدالة v (الدالة الداخلية g في قاعدة السلسلة) xⁿ, eˣ, aᵏˣ, ln x, sin x, cos x, tan x, kx
• الأس n في xⁿ -3–5
• المعامل k (في aᵏˣ و kx) -3–3
• الأساس a في aᵏˣ 0.5–5
• الثابت c (المجموع: c·u + v) -5–5

أسئلة للاستكشاف

1. عند قمة تل في منحنى f، ما قيمة f′؟ وماذا يحدث لإشارتها قبل القمة وبعدها؟
2. كيف يتغير منحنى F عند تغيير الثابت C؟ ولماذا يبقى شكله كما هو؟
3. باستخدام قاعدة الضرب، ما مشتقة x²·sin x؟ وهل تطابق النقاط العددية الخط؟