الاشتقاق الضمني – مماسات المنحنيات F(x, y) = 0

ماذا تعرض

المنحنى x² + xy + y² = 3 مثلًا ليس تمثيلًا بيانيًا لدالة واحدة، لكنه يعرّف y دالةً في x بالقرب من معظم نقاطه. باشتقاق الطرفين بالنسبة إلى x، مع تطبيق قاعدة السلسلة على الحدود التي تحتوي y وقاعدة اشتقاق حاصل الضرب على xy، نحصل على dy/dx؛ وبوجه عام dy/dx = −Fₓ/F_y. يكون المماس أفقيًا حيث Fₓ = 0 ورأسيًا حيث F_y = 0، وإذا انعدم كلاهما كانت النقطة شاذة. يُرسم المنحنى عدديًا على شبكة، لذا فالقيم تقريبية دقيقة. ويرسم التمثيل الوسيطي x(t)، y(t) المنحنى نفسه ويعطي الميل نفسه y′(t)/x′(t).

طريقة الاستخدام

اختر «المنحنى» واضبط k بالمنزلق، أو اختر «اكتب معادلتك F(x, y) = 0» وأدخل معادلة. اسحب النقطة الحمراء P على المنحنى لتقرأ dy/dx ومعادلة المماس وd²y/dx²؛ وتنجذب P إلى النقاط الخضراء والبنفسجية حيث يكون المماس أفقيًا أو رأسيًا. فعّل خيار إظهار ∇F = (Fₓ, F_y) لترى لماذا يتعامد المماس مع التدرج. اضغط «تتبّع بالتمثيل الوسيطي» لمقارنة y′(t)/x′(t) بـ −Fₓ/F_y.

المعاملات القابلة للتغيير

• المنحنى دائرة x² + y² = k², قطع ناقص x²/k² + y²/4 = 1, قطع ناقص مائل x² + xy + y² = k, قطع زائد x² − y² = k, ورقة ديكارت x³ + y³ = 3kxy, منحنى تكعيبي y² = x³ − 3x + k, اكتب معادلتك F(x, y) = 0
• المعامل k 0.5–4
• المعادلة المكتوبة F(x, y) = 0
• إظهار النقاط ذات المماس الأفقي والرأسي

أسئلة للاستكشاف

1. على المنحنى x² + xy + y² = 3، عند أي النقاط يكون المماس أفقيًا، وكيف تجدها جبريًا؟
2. لماذا لا يعطي الاشتقاق الضمني مماسًا وحيدًا عند نقطة الأصل لورقة ديكارت x³ + y³ = 9xy؟
3. للدائرة x² + y² = 9، لماذا تكون dy/dx = −x/y غير معرّفة عند (3, 0)؟