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Trigonometrische Grundgleichungen am Einheitskreis

MathematikTrigonometrieAlter 16–17

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Lösen Sie sin x = m, cos x = m oder tan x = m mit dem Einheitskreis: Die Simulation markiert die Punkte auf dem Kreis, die die Gleichung erfüllen, vergleicht sie mit dem Funktionsgraphen und schreibt die vollständige Lösungsmenge x = α + k2π (bzw. π − α + k2π, α + kπ) aus. Ändern Sie m, um zu sehen, wann die Gleichung keine Lösung hat.

Lektion: Trigonometrische Grundgleichungen

Was sie zeigt

Einheitskreis und Funktionsgraph nebeneinander erklären, warum trigonometrische Grundgleichungen ganze Lösungsscharen haben. Bei sin x = m schneidet die Gerade y = m den Kreis in zwei zur senkrechten Achse symmetrischen Punkten: x = α + k2π oder x = π − α + k2π. Bei cos x = m liegen die Punkte symmetrisch zur waagerechten Achse: x = ±α + k2π. Bei tan x = m liegen die beiden Punkte π auseinander, daher genügt eine Schar α + kπ. Sinus- und Kosinusgleichungen verlangen |m| ≤ 1; Tangensgleichungen sind immer lösbar.

So funktioniert es

Wählen Sie eine Gleichung und beginnen Sie mit den Schnelltasten m = 1/2, m = √2/2 und m = 1; vergleichen Sie die markierten Punkte auf dem Kreis mit den Schnittpunkten im Graphen. Schieben Sie dann den Wert von m langsam über 1 und −1 hinaus und beobachten Sie, wie die Lösungen verschwinden. Wechseln Sie zu tan x = m und wiederholen Sie das. Schalten Sie Funktionsgraph zeigen aus, damit die Lernenden die Lösungsschar allein am Kreis vorhersagen.

Einstellbare Parameter

  • Gleichung sin x = m, cos x = m, tan x = m
  • Wert von m -2–2
  • Funktionsgraph zeigen

Fragen zum Erkunden

  1. Warum liefert sin x = 1 nur eine Lösungsschar statt zwei?
  2. Hat cos x = 1,5 eine Lösung, und wie zeigt der Einheitskreis das?
  3. Warum wiederholen sich die Lösungen von tan x = m alle π und nicht alle 2π?

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