الأسطوانة والمخروط والكرة – المساحة والحجم

ماذا تعرض

الأسطوانة والمخروط والكرة مجسمات دورانية، ويمكن ربط كل قانون للمساحة والحجم بأطوال ظاهرة على النموذج. يُفرد السطح الجانبي للأسطوانة فيصبح مستطيلًا بُعداه 2πR وh، فمساحته 2πRh، وحجم الأسطوانة πR²h. أما المساحة الجانبية للمخروط فتعتمد على طول الراسم l = √(R² + h²) لا على h، وحجمه ثلث حجم أسطوانة لها القاعدة نفسها والارتفاع نفسه تمامًا. ومساحة سطح الكرة 4πR² وحجمها ⁴⁄₃πR³، وهذا يبيّن أن المساحة تتناسب مع R² والحجم مع R³.

طريقة الاستخدام

اختر «أسطوانة» أو «مخروط» أو «كرة»، وغيّر «نصف قطر القاعدة / نصف القطر R» و«الارتفاع h». دوّر المجسم بالسحب أو بزر «تدوير تلقائي»، واستخدم زر 2D | 3D لنموذج WebGL قابل للتكبير. ثبّت R وh وبدّل بين «أسطوانة» و«مخروط» لتقارن الحجمين. ثم ضاعف R واطلب من الطلاب أن يتوقعوا، قبل التحقق، كيف يتغير حجم الأسطوانة وحجم الكرة.

المعاملات القابلة للتغيير

• المجسم أسطوانة, مخروط, كرة
• نصف قطر القاعدة / نصف القطر R 1–10 cm
• الارتفاع h (الأسطوانة، المخروط) 1–20 cm
• تدوير تلقائي

أسئلة للاستكشاف

1. لماذا تُحسب المساحة الجانبية للمخروط بطول الراسم l لا بالارتفاع h؟
2. قارن كرة نصف قطرها R بأسطوانة نصف قطرها R وارتفاعها 2R. أيهما حجمها أكبر؟
3. عند مضاعفة R، كم مرة يتضاعف حجم الأسطوانة وكم مرة يتضاعف حجم الكرة؟