التمثيل البياني للدالة التربيعية – المعاملات وصيغة الرأس والبؤرة والدليل

ماذا تعرض

التمثيل البياني للدالة التربيعية y = ax² + bx + c قطع مكافئ. تحدد إشارة المعامل a اتجاه الفتحة، وكلما كبرت |a| ضاق القطع. يقع الرأس عند x = −b/2a ويمر به محور التماثل الرأسي، أما المقطع الصادي فهو النقطة (0, c). ويحدد المميز Δ = b² − 4ac عدد الجذور الحقيقية: جذران مختلفان إذا كان Δ > 0، وجذر مكرر إذا كان Δ = 0، ولا جذور حقيقية إذا كان Δ < 0. وتكشف صيغة الرأس y = a(x − h)² + k عن الرأس (h, k) مباشرة. وهندسيًا، القطع المكافئ هو مجموعة النقاط التي يتساوى بعدها عن البؤرة وبعدها عن الدليل.

طريقة الاستخدام

ابدأ بشاشة «استكشاف»: حرّك منزلقات a و b و c، وفعّل «إظهار الحدود ax² و bx و c منفردة» لترى أثر كل حد. في «الصيغة القياسية» غيّر المعاملات بالزرين − و +، وفعّل «الرأس» و«محور التماثل» و«الجذور» و«المقطع الصادي»، ولاحظ كيف تتغير قيمة Δ. في «صيغة الرأس» اسحب الرأس على التمثيل البياني. وفي «البؤرة» اسحب البؤرة F والنقطة P، وقارن PF مع PD.

المعاملات القابلة للتغيير

• الشاشة الأولى استكشاف, الصيغة القياسية, صيغة الرأس, البؤرة والدليل
• استكشاف: المعامل a -4–4
• استكشاف: المعامل b -8–8
• استكشاف: المعامل c -8–8
• استكشاف: إظهار كل حد منفردًا
• الصيغة القياسية: المعامل a (عدد صحيح غير صفري) -6–6
• الصيغة القياسية: المعامل b (عدد صحيح) -10–10
• الصيغة القياسية: المعامل c (عدد صحيح) -10–10
• الصيغة القياسية: إظهار الرأس
• الصيغة القياسية: إظهار محور التماثل
• الصيغة القياسية: إظهار الجذور
• الصيغة القياسية: إظهار المقطع الصادي
• صيغة الرأس: المعامل a (غير صفري) -4–4
• صيغة الرأس: الإحداثي السيني للرأس h -6–6
• صيغة الرأس: الإحداثي الصادي للرأس k -6–6
• البؤرة: الإحداثي السيني للرأس h -4–4
• البؤرة: الإحداثي الصادي للرأس k -4–4
• البؤرة: البعد البؤري |p| 0.5–4
• البؤرة: الفتحة إلى الأسفل
• البؤرة: الإحداثي السيني للنقطة P على القطع المكافئ -6–6

أسئلة للاستكشاف

1. ما أثر تغيير إشارة المعامل a في شكل القطع المكافئ واتجاه فتحته؟
2. إذا كان Δ = b² − 4ac سالبًا، فكم نقطة يشترك فيها القطع المكافئ مع محور السينات؟
3. لماذا تبقى المسافة PF مساوية للمسافة PD مهما حرّكت النقطة P على القطع المكافئ؟