نهايات المتتاليات والدوال، والاتصال

ماذا تعرض

تكون للمتتالية uₙ نهاية L إذا وُجدت، لكل شريط L ± ε مهما ضاق، رتبة N₀ تقع بعدها كل الحدود داخل الشريط؛ أما (−1)ⁿ فلا تدخل أي شريط ضيق. وتكون للدالة نهاية عند x₀ إذا تساوت نهايتاها من الجهتين، وتكون متصلة عندها إذا ساوت تلك النهاية f(x₀). يحوّل نمط التقنيات الصيغتين 0/0 و ∞/∞ إلى قيم دقيقة: التحليل إلى عوامل أو الضرب في المرافق يزيل الثقب، ومبرهنة الحصر تحصر x² sin(1/x) و sin x / x بين دالتين أبسط، وقاعدة لوبيتال تقارن f/g بالنسبة f′/g′، والقسمة على أعلى قوة تعطي النهايات عند اللانهاية.

طريقة الاستخدام

في «متتالية» اختر متتالية واسحب رأسيًا على الرسم لتضييق ε، وتوقّع كيف تتغير N₀. في «دالة» اضبط x₀، واسحب النقطة الحمراء نحوها من كل جهة أو اضغط «تشغيل»، وقارن النهايتين من الجهتين بالقيمة f(x₀). في «تقنيات» اختر حالة واضغط «الخطوة التالية» لتظهر خطوات الحل واحدة تلو الأخرى، بينما تسحب النقطة الحمراء وتراقب جدول القيم.

المعاملات القابلة للتغيير

• الموضوع المتتالية uₙ, الدالة f(x), تقنيات حساب النهايات
• المتتالية uₙ = 1/n, uₙ = (−1)ⁿ/n, uₙ = (2n + 1)/(n + 1), uₙ = (−1)ⁿ (ليس لها نهاية)
• ε (نصف عرض الشريط حول L) 0.02–0.5
• الدالة f(x) = (x² − 1)/(x − 1), f(x) = sin x / x, f(x) = |x|/x, f(x) = x² (متصلة)
• النقطة x₀ التي تُدرس عندها النهاية -3–3
• التقنية (نمط التقنيات) التحليل: (x² − x − 6)/(x − 3)، x → 3, المرافق: (√(x + 4) − 2)/x، x → 0, الحصر: x² sin(1/x)، x → 0, الحصر: sin x / x، x → 0, لوبيتال 0/0: ln x / (x − 1)، x → 1, لوبيتال ∞/∞: ln x / x، x → ∞, عند اللانهاية: (2x² − 3x + 1)/(x² + 4)

أسئلة للاستكشاف

1. عند ε = 0.1، ابتداءً من أي رتبة N₀ تقع كل حدود المتتالية uₙ = 1/n داخل الشريط؟
2. لماذا يزيل الضرب في √(x + 4) + 2 الصيغة 0/0 للعبارة (√(x + 4) − 2)/x عندما x → 0؟
3. أي الدوال الأربع متصلة عند x₀ = 0، وما الخلل في الدوال الأخرى؟