الدوال النسبية – خطوط التقارب لمنحنى الدالة

ماذا تعرض

خط التقارب مستقيم يقترب منه منحنى الدالة أكثر فأكثر. في الدالة y = (ax + b)/(cx + d) يعطي جذر المقام خط تقارب رأسيًا x = −d/c، إلا إذا انعدم البسط أيضًا عنده فلا يبقى إلا ثقب في المنحنى؛ وعندما x → ±∞ تؤول النسبة إلى a/c، وهذا خط تقارب أفقي. وفي الدالة y = (ax² + bx + c)/(x + d) حيث a ≠ 0 تزيد درجة البسط على درجة المقام بواحد، فتعطي قسمة كثيرات الحدود خط تقارب مائلًا y = px + q مضافًا إليه حد باقٍ يؤول إلى 0.

طريقة الاستخدام

اختر نوع الدالة وابدأ بالدالة (ax + b)/(cx + d). غيّر المعامل c والمعامل d، واطلب من الطلاب توقّع خطي التقارب الرأسي والأفقي قبل قراءة اللوحة. استعمل جداول القيم للتأكد من أن |y| يصبح كبيرًا جدًا قرب جذر المقام، وأن y يقترب من خط التقارب عند x = 10 و100 و1000 و10000. ثم انتقل إلى (ax² + bx + c)/(x + d) ولاحظ كيف تصغر قيم العمود y − (px + q) مقتربة من 0.

المعاملات القابلة للتغيير

• نوع الدالة (ax + b)/(cx + d), (ax² + bx + c)/(x + d)
• المعامل a -5–5
• المعامل b -8–8
• المعامل c (في المقام الخطي) / الحد الثابت c -5–5
• المعامل d -6–6

أسئلة للاستكشاف

1. هل يعطي جذر المقام دائمًا خط تقارب رأسيًا، أم يمكن أن يعطي ثقبًا في المنحنى بدلًا منه؟
2. ما خط التقارب المائل لمنحنى الدالة y = (x² + 1)/(x − 2)؟
3. هل يمكن أن يقطع منحنى y = (ax + b)/(cx + d) خط تقاربه الأفقي y = a/c؟ ولماذا؟