Dérivation implicite – tangentes aux courbes F(x, y) = 0

Ce qu’elle montre

Une courbe comme x² + xy + y² = 3 n'est pas la courbe représentative d'une seule fonction, mais près de la plupart de ses points elle définit y comme fonction de x. En dérivant les deux membres par rapport à x, avec la dérivée d'une composée pour les termes en y et celle d'un produit pour xy, on obtient dy/dx ; en général dy/dx = −Fₓ/F_y. La tangente est horizontale là où Fₓ = 0 et verticale là où F_y = 0 ; si les deux s'annulent, le point est singulier. La courbe est tracée numériquement sur une grille, les valeurs sont donc de très bonnes approximations. Une paramétrisation x(t), y(t) trace la même courbe avec la même pente y′(t)/x′(t).

Mode d’emploi

Choisissez une Courbe et réglez k avec le curseur, ou choisissez Saisir votre propre F(x, y) = 0 et entrez une équation. Faites glisser le point rouge P sur la courbe pour lire dy/dx, la tangente et d²y/dx² ; P s'aimante aux points verts et violets où la tangente est horizontale ou verticale. Cochez Afficher ∇F = (Fₓ, F_y) pour voir pourquoi la tangente est perpendiculaire au gradient. Cliquez sur Tracer par paramétrisation pour comparer y′(t)/x′(t) et −Fₓ/F_y.

Paramètres modifiables

• Courbe Cercle x² + y² = k², Ellipse x²/k² + y²/4 = 1, Ellipse inclinée x² + xy + y² = k, Hyperbole x² − y² = k, Folium de Descartes x³ + y³ = 3kxy, Courbe cubique y² = x³ − 3x + k, Saisir votre propre F(x, y) = 0
• Paramètre k 0,5–4
• Équation saisie F(x, y) = 0
• Afficher les points à tangente horizontale ou verticale

Questions à explorer

1. En quels points de x² + xy + y² = 3 la tangente est-elle horizontale, et comment les trouver par le calcul ?
2. Pourquoi la dérivation implicite ne donne-t-elle pas une seule tangente à l'origine du folium x³ + y³ = 9xy ?
3. Pour le cercle x² + y² = 9, pourquoi dy/dx = −x/y n'est-il pas défini en (3 ; 0) ?