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Derivação implícita – tangentes a curvas F(x, y) = 0

MatemáticaCálculoIdades 16–17

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Escolha ou digite uma curva F(x, y) = 0 (circunferência, elipse, x² + xy + y² = k, hipérbole, fólio de Descartes, uma curva cúbica ou sua própria equação) e arraste um ponto P sobre ela para ver a tangente cujo coeficiente angular dy/dx = −Fₓ/F_y vem da derivação implícita. Os pontos com tangente horizontal ou vertical e os pontos singulares são marcados, o sinal de d²y/dx² indica a concavidade e uma parametrização equivalente traça a mesma curva.

Aula: Derivação implícita; tangentes a curvas definidas implicitamente

O que mostra

Uma curva como x² + xy + y² = 3 não é o gráfico de uma única função, mas perto da maioria de seus pontos define y como função de x. Derivando os dois membros em relação a x, com a regra da cadeia para os termos em y e a regra do produto para xy, obtém-se dy/dx; em geral, dy/dx = −Fₓ/F_y. A tangente é horizontal onde Fₓ = 0 e vertical onde F_y = 0; se as duas se anulam, o ponto é singular. A curva é desenhada numericamente em uma grade, então os valores são aproximações muito próximas. Uma parametrização x(t), y(t) traça a mesma curva e dá o mesmo coeficiente angular y′(t)/x′(t).

Como usar

Escolha uma Curva e ajuste k com o controle deslizante, ou escolha Digite sua própria F(x, y) = 0 e insira uma equação. Arraste o ponto vermelho P sobre a curva para ler dy/dx, a reta tangente e d²y/dx²; P se prende aos pontos verdes e roxos onde a tangente é horizontal ou vertical. Marque Mostrar ∇F = (Fₓ, F_y) para ver por que a tangente é perpendicular ao gradiente. Clique em Traçar com parametrização para comparar y′(t)/x′(t) com −Fₓ/F_y.

Parâmetros que você pode mudar

  • Curva Circunferência x² + y² = k², Elipse x²/k² + y²/4 = 1, Elipse inclinada x² + xy + y² = k, Hipérbole x² − y² = k, Fólio de Descartes x³ + y³ = 3kxy, Curva cúbica y² = x³ − 3x + k, Digite sua própria F(x, y) = 0
  • Parâmetro k 0,5–4
  • Equação digitada F(x, y) = 0
  • Mostrar pontos com tangente horizontal e vertical

Perguntas para explorar

  1. Em quais pontos de x² + xy + y² = 3 a tangente é horizontal, e como encontrá-los algebricamente?
  2. Por que a derivação implícita não dá uma única tangente na origem do fólio x³ + y³ = 9xy?
  3. Na circunferência x² + y² = 9, por que dy/dx = −x/y não está definida em (3, 0)?

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