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Derivación implícita – tangentes a curvas F(x, y) = 0

MatemáticasCálculoEdades 16–17

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Elige o escribe una curva F(x, y) = 0 (circunferencia, elipse, x² + xy + y² = k, hipérbola, folium de Descartes, una curva cúbica o tu propia ecuación) y arrastra un punto P sobre ella para ver la tangente cuya pendiente dy/dx = −Fₓ/F_y se obtiene por derivación implícita. Se marcan los puntos con tangente horizontal o vertical y los puntos singulares, el signo de d²y/dx² indica la concavidad y una parametrización equivalente traza la misma curva.

Lección: Derivación implícita; tangentes a curvas definidas implícitamente

Qué muestra

Una curva como x² + xy + y² = 3 no es la gráfica de una sola función, pero cerca de la mayoría de sus puntos define y como función de x. Al derivar ambos miembros respecto de x, con la regla de la cadena para los términos en y y la regla del producto para xy, se obtiene dy/dx; en general, dy/dx = −Fₓ/F_y. La tangente es horizontal donde Fₓ = 0 y vertical donde F_y = 0; si ambas se anulan, el punto es singular. La curva se dibuja numéricamente sobre una cuadrícula, así que los valores son aproximaciones muy cercanas. Una parametrización x(t), y(t) traza la misma curva y da la misma pendiente y′(t)/x′(t).

Cómo usarla

Elige una Curva y ajusta k con el deslizador, o elige Escribe tu propia F(x, y) = 0 e introduce una ecuación. Arrastra el punto rojo P sobre la curva para leer dy/dx, la recta tangente y d²y/dx²; P se ajusta a los puntos verdes y morados donde la tangente es horizontal o vertical. Marca Mostrar ∇F = (Fₓ, F_y) para ver por qué la tangente es perpendicular al gradiente. Pulsa Trazar con parametrización para comparar y′(t)/x′(t) con −Fₓ/F_y.

Parámetros que puedes cambiar

  • Curva Circunferencia x² + y² = k², Elipse x²/k² + y²/4 = 1, Elipse inclinada x² + xy + y² = k, Hipérbola x² − y² = k, Folium de Descartes x³ + y³ = 3kxy, Curva cúbica y² = x³ − 3x + k, Escribe tu propia F(x, y) = 0
  • Parámetro k 0,5–4
  • Ecuación escrita F(x, y) = 0
  • Mostrar puntos con tangente horizontal y vertical

Preguntas para explorar

  1. ¿En qué puntos de x² + xy + y² = 3 la tangente es horizontal y cómo se hallan algebraicamente?
  2. ¿Por qué la derivación implícita no da una única tangente en el origen del folium x³ + y³ = 9xy?
  3. En la circunferencia x² + y² = 9, ¿por qué dy/dx = −x/y no está definida en (3, 0)?

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