Turunan implisit – garis singgung kurva F(x, y) = 0

Yang ditunjukkan

Kurva seperti x² + xy + y² = 3 bukan grafik satu fungsi, tetapi di dekat sebagian besar titiknya kurva itu mendefinisikan y sebagai fungsi x. Dengan menurunkan kedua ruas terhadap x, memakai aturan rantai untuk suku dalam y dan aturan hasil kali untuk xy, diperoleh dy/dx; secara umum dy/dx = −Fₓ/F_y. Garis singgung mendatar di tempat Fₓ = 0 dan tegak di tempat F_y = 0; jika keduanya nol, titik itu singular. Kurva digambar secara numerik pada kisi, sehingga nilainya berupa hampiran yang sangat dekat. Parametrisasi x(t), y(t) menggambar kurva yang sama dan memberi gradien yang sama, y′(t)/x′(t).

Cara menggunakan

Pilih Kurva dan atur k dengan penggeser, atau pilih Ketik F(x, y) = 0 sendiri lalu masukkan persamaan. Seret titik merah P di sepanjang kurva untuk membaca dy/dx, garis singgung, dan d²y/dx²; P menempel pada titik hijau dan ungu tempat garis singgung mendatar atau tegak. Centang Tampilkan ∇F = (Fₓ, F_y) untuk melihat mengapa garis singgung tegak lurus gradien. Tekan Gambar dengan parametrisasi untuk membandingkan y′(t)/x′(t) dengan −Fₓ/F_y.

Parameter yang dapat diubah

• Kurva Lingkaran x² + y² = k², Elips x²/k² + y²/4 = 1, Elips miring x² + xy + y² = k, Hiperbola x² − y² = k, Folium Descartes x³ + y³ = 3kxy, Kurva kubik y² = x³ − 3x + k, Ketik F(x, y) = 0 sendiri
• Parameter k 0,5–4
• Persamaan yang diketik F(x, y) = 0
• Tampilkan titik dengan garis singgung mendatar dan tegak

Pertanyaan untuk dijelajahi

1. Di titik mana pada x² + xy + y² = 3 garis singgungnya mendatar, dan bagaimana mencarinya secara aljabar?
2. Mengapa turunan implisit tidak memberi satu garis singgung di titik asal folium x³ + y³ = 9xy?
3. Pada lingkaran x² + y² = 9, mengapa dy/dx = −x/y tidak terdefinisi di (3, 0)?