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Implizites Differenzieren – Tangenten an Kurven F(x, y) = 0

MathematikAnalysisAlter 16–17

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Wählen oder tippen Sie eine Kurve F(x, y) = 0 (Kreis, Ellipse, x² + xy + y² = k, Hyperbel, kartesisches Blatt, eine kubische Kurve oder eine eigene Gleichung) und ziehen Sie einen Punkt P darauf, um die Tangente zu sehen, deren Steigung dy/dx = −Fₓ/F_y aus dem impliziten Differenzieren folgt. Punkte mit waagerechter oder senkrechter Tangente und singuläre Punkte werden markiert, das Vorzeichen von d²y/dx² zeigt die Krümmung, und eine passende Parameterdarstellung zeichnet dieselbe Kurve.

Lektion: Implizites Differenzieren; Tangenten an implizit gegebene Kurven

Was sie zeigt

Eine Kurve wie x² + xy + y² = 3 ist nicht der Graph einer einzigen Funktion, doch in der Nähe der meisten ihrer Punkte legt sie y als Funktion von x fest. Leitet man beide Seiten nach x ab, mit der Kettenregel für Terme in y und der Produktregel für xy, erhält man dy/dx; allgemein gilt dy/dx = −Fₓ/F_y. Die Tangente ist waagerecht, wo Fₓ = 0, und senkrecht, wo F_y = 0; verschwinden beide, ist der Punkt singulär. Die Kurve wird numerisch auf einem Gitter gezeichnet, die Werte sind also sehr gute Näherungen. Eine Parameterdarstellung x(t), y(t) zeichnet dieselbe Kurve mit derselben Steigung y′(t)/x′(t).

So funktioniert es

Wählen Sie eine Kurve und stellen Sie k mit dem Regler ein, oder wählen Sie Eigene Gleichung F(x, y) = 0 und geben Sie eine Gleichung ein. Ziehen Sie den roten Punkt P entlang der Kurve, um dy/dx, die Tangente und d²y/dx² abzulesen; P rastet an den grünen und violetten Punkten ein, an denen die Tangente waagerecht oder senkrecht ist. Aktivieren Sie ∇F = (Fₓ, F_y) anzeigen, um zu sehen, warum die Tangente senkrecht zum Gradienten steht. Klicken Sie auf Mit Parametern zeichnen, um y′(t)/x′(t) mit −Fₓ/F_y zu vergleichen.

Einstellbare Parameter

  • Kurve Kreis x² + y² = k², Ellipse x²/k² + y²/4 = 1, Gedrehte Ellipse x² + xy + y² = k, Hyperbel x² − y² = k, Kartesisches Blatt x³ + y³ = 3kxy, Kubische Kurve y² = x³ − 3x + k, Eigene Gleichung F(x, y) = 0
  • Parameter k 0,5–4
  • Eingegebene Gleichung F(x, y) = 0
  • Punkte mit waagerechter und senkrechter Tangente zeigen

Fragen zum Erkunden

  1. In welchen Punkten von x² + xy + y² = 3 ist die Tangente waagerecht, und wie findet man sie rechnerisch?
  2. Warum liefert implizites Differenzieren im Ursprung des Blatts x³ + y³ = 9xy keine eindeutige Tangente?
  3. Warum ist dy/dx = −x/y beim Kreis x² + y² = 9 im Punkt (3; 0) nicht definiert?

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