الإحداثيات القطبية والمنحنيات القطبية – التحويل والوردة والحلزون الباسكالي واللوالب والمساحة

ماذا تعرض

في الإحداثيات القطبية تُحدَّد النقطة ببعدها r عن القطب O وبالزاوية θ التي يصنعها شعاعها مع المحور القطبي، مقيسةً عكس اتجاه عقارب الساعة. عندئذ x = r cos θ وy = r sin θ، ولكل نقطة أسماء قطبية كثيرة، منها ما فيه r سالب. يُرسم المنحنى القطبي r = f(θ) مع تزايد θ، وقراءته بجانب التمثيل البياني لـ r مقابل θ تُظهر أين تتزايد r أو تتناقص ومتى تقترب النقطة من القطب أو تبتعد عنه. الميل هو dy/dx = (r′ sin θ + r cos θ)/(r′ cos θ − r sin θ)، والمساحة التي يمسحها نصف القطر هي ½∫r² dθ.

طريقة الاستخدام

في الإحداثيات القطبية، اسحب P أو استخدم منزلقَي r للنقطة P وθ للنقطة P، وفعّل الصورة المركبة لترى z. اضغط النقطة الهدف أو حوّل للتدرّب. في المنحنى r = f(θ)، اختر المنحنى واضبط a أو b أو k، ثم اضغط ارسم أو اسحب على أيٍّ من التمثيلين لتحريك θ. في المساحة، اضبط زاوية البداية α وزاوية النهاية β وعدد القطاعات. يبدّل خيار وحدة الزاوية بين الدرجات والراديان.

المعاملات القابلة للتغيير

• الشاشة الإحداثيات القطبية, المنحنى r = f(θ), المساحة
• المنحنى وردة (جيب التمام), وردة (جيب), حلزون باسكال (جيب التمام), حلزون باسكال (جيب), دائرة مركزها O, دائرة تمر بـ O, لولب أرخميدس, ليمنسكات برنولي
• الوسيط a 0.5–5
• الوسيط b (الحلزون) -5–5
• الوسيط k (الوردة) 1–8
• الزاوية θ على المنحنى 0–720 °
• وحدة الزاوية درجات, راديان
• زاوية البداية α -360–720 °
• زاوية النهاية β -360–720 °
• عدد القطاعات 1–60
• r للنقطة P -6–6
• θ للنقطة P -360–360 °
• الصورة المركبة
• الالتصاق بالشبكة

أسئلة للاستكشاف

1. لماذا للمنحنى r = 3 cos 2θ أربع بتلات بينما للمنحنى r = 3 cos 3θ ثلاث فقط؟
2. عندما تكون r سالبة ومتناقصة، هل تقترب النقطة من القطب أم تبتعد عنه؟
3. لماذا يقترب مجموع القطاعات ½ r² Δθ من المساحة كلما زاد عدد القطاعات؟