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Coordenadas polares e gráficos polares – conversão, rosáceas, caracóis, espirais e área

MatemáticaFunções e gráficosIdades 16–17

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Usar com minha turma

Arraste um ponto P para converter entre coordenadas polares (r; θ) e cartesianas (x; y), veja outros nomes do mesmo ponto e a forma trigonométrica de um número complexo. Trace r = f(θ) (rosáceas, caracóis de Pascal, cardioides, circunferências, espiral de Arquimedes, lemniscata) enquanto θ avança, ligado ao gráfico de r em função de θ, com dr/dθ, a inclinação dy/dx da tangente e onde r cresce ou decresce. A tela de área calcula ½∫r²dθ entre dois raios e compara com uma soma de setores circulares.

Aula: Coordenadas polares e curvas polares

O que mostra

Em coordenadas polares, um ponto é dado pela sua distância r ao polo O e pelo ângulo θ que seu raio faz com o eixo polar, medido no sentido anti-horário. Então x = r cos θ e y = r sen θ, e cada ponto tem muitos nomes polares, inclusive com r negativo. Um gráfico polar r = f(θ) é traçado conforme θ aumenta; lê-lo ao lado do gráfico de r em função de θ mostra onde r cresce ou decresce e quando o ponto se aproxima ou se afasta do polo. A inclinação é dy/dx = (r′ sen θ + r cos θ)/(r′ cos θ − r sen θ) e a área varrida pelo raio é ½∫r² dθ.

Como usar

Em Coordenadas polares, arraste P ou use os controles r de P e θ de P; marque Forma complexa para ver z. Pressione Ponto-alvo ou Converter para praticar. Em Gráfico r = f(θ), escolha uma Curva, ajuste a, b ou k e pressione Traçar, ou arraste sobre um dos gráficos para mover θ. Em Área, ajuste o Ângulo inicial α, o Ângulo final β e o Número de setores. Unidade de ângulo alterna entre graus e radianos.

Parâmetros que você pode mudar

  • Tela Coordenadas polares, Gráfico r = f(θ), Área
  • Curva Rosácea (cos), Rosácea (sen), Caracol de Pascal (cos), Caracol de Pascal (sen), Circunferência de centro O, Circunferência por O, Espiral de Arquimedes, Lemniscata de Bernoulli
  • Parâmetro a 0,5–5
  • Parâmetro b (caracol) -5–5
  • Parâmetro k (rosácea) 1–8
  • Ângulo θ no gráfico 0–720 °
  • Unidade de ângulo Graus, Radianos
  • Ângulo inicial α -360–720 °
  • Ângulo final β -360–720 °
  • Número de setores 1–60
  • r do ponto P -6–6
  • θ do ponto P -360–360 °
  • Forma complexa
  • Encaixar na grade

Perguntas para explorar

  1. Por que r = 3 cos 2θ tem quatro pétalas e r = 3 cos 3θ só três?
  2. Quando r é negativo e decrescente, o ponto se aproxima ou se afasta do polo?
  3. Por que a soma dos setores ½ r² Δθ se aproxima da área quando o número de setores aumenta?

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