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Polarkoordinaten und Polarkurven – Umrechnung, Rosen, Pascalsche Schnecken, Spiralen und Fläche

MathematikFunktionen und GraphenAlter 16–17

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Ziehen Sie einen Punkt P, um zwischen Polarkoordinaten (r | θ) und kartesischen Koordinaten (x | y) umzurechnen, und sehen Sie weitere Darstellungen desselben Punkts und die trigonometrische Form einer komplexen Zahl. Zeichnen Sie r = f(θ) (Rosen, Pascalsche Schnecken, Kardioiden, Kreise, archimedische Spirale, Lemniskate), während θ wächst, gekoppelt an den Graphen von r über θ, mit dr/dθ, der Tangentensteigung dy/dx und den Bereichen, in denen r wächst oder fällt. Der Flächen-Bildschirm berechnet ½∫r²dθ zwischen zwei Strahlen und vergleicht mit einer Summe von Kreissektoren.

Lektion: Polarkoordinaten und Kurven in Polarform

Was sie zeigt

In Polarkoordinaten wird ein Punkt durch seinen Abstand r vom Pol O und den Winkel θ angegeben, den sein Strahl mit der Polarachse bildet, gemessen gegen den Uhrzeigersinn. Dann gilt x = r cos θ und y = r sin θ, und jeder Punkt hat viele Polardarstellungen, auch mit negativem r. Eine Polarkurve r = f(θ) entsteht, während θ wächst; liest man sie neben dem Graphen von r über θ, sieht man, wo r wächst oder fällt und wann sich der Punkt dem Pol nähert oder sich entfernt. Die Steigung ist dy/dx = (r′ sin θ + r cos θ)/(r′ cos θ − r sin θ), die vom Radius überstrichene Fläche ½∫r² dθ.

So funktioniert es

Unter Polarkoordinaten ziehen Sie P oder nutzen die Regler r von P und θ von P; mit Komplexe Form sehen Sie z. Zum Üben drücken Sie Zielpunkt oder Umrechnen. Unter Kurve r = f(θ) wählen Sie eine Kurve, stellen a, b oder k ein und drücken Zeichnen oder ziehen auf einem der Graphen, um θ zu bewegen. Unter Fläche stellen Sie Startwinkel α, Endwinkel β und Anzahl der Sektoren ein. Winkeleinheit wechselt zwischen Grad und Bogenmaß.

Einstellbare Parameter

  • Bildschirm Polarkoordinaten, Kurve r = f(θ), Fläche
  • Kurve Rose (cos), Rose (sin), Pascalsche Schnecke (cos), Pascalsche Schnecke (sin), Kreis um O, Kreis durch O, Archimedische Spirale, Lemniskate von Bernoulli
  • Parameter a 0,5–5
  • Parameter b (Schnecke) -5–5
  • Parameter k (Rose) 1–8
  • Winkel θ auf der Kurve 0–720 °
  • Winkeleinheit Grad, Bogenmaß
  • Startwinkel α -360–720 °
  • Endwinkel β -360–720 °
  • Anzahl der Sektoren 1–60
  • r des Punkts P -6–6
  • θ des Punkts P -360–360 °
  • Komplexe Form
  • Am Gitter einrasten

Fragen zum Erkunden

  1. Warum hat r = 3 cos 2θ vier Blätter, r = 3 cos 3θ aber nur drei?
  2. Wenn r negativ ist und fällt, nähert sich der Punkt dann dem Pol oder entfernt er sich?
  3. Warum kommt die Summe der Sektoren ½ r² Δθ der Fläche näher, je mehr Sektoren es gibt?

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