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Coordenadas polares y gráficas polares – conversión, rosas, caracoles, espirales y área

MatemáticasFunciones y gráficasEdades 16–17

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Usar con mi clase

Arrastra un punto P para pasar de coordenadas polares (r; θ) a cartesianas (x; y) y al revés, mira otros nombres del mismo punto y la forma polar de un número complejo. Grafica r = f(θ) (rosas, caracoles de Pascal, cardioides, circunferencias, espiral de Arquímedes, lemniscata) mientras θ avanza, junto a la gráfica de r frente a θ, con dr/dθ, la pendiente dy/dx de la tangente y dónde r crece o decrece. La pantalla de área calcula ½∫r²dθ entre dos rayos y la compara con una suma de sectores circulares.

Lección: Coordenadas polares y curvas en polares

Qué muestra

En coordenadas polares, un punto se da por su distancia r al polo O y por el ángulo θ que forma su rayo con el eje polar, medido en sentido antihorario. Entonces x = r cos θ e y = r sin θ, y cada punto tiene muchos nombres polares, incluso con r negativo. Una gráfica polar r = f(θ) se traza a medida que θ crece; leerla junto a la gráfica de r frente a θ muestra dónde r crece o decrece y cuándo el punto se acerca o se aleja del polo. La pendiente es dy/dx = (r′ sin θ + r cos θ)/(r′ cos θ − r sin θ) y el área barrida por el radio es ½∫r² dθ.

Cómo usarla

En Coordenadas polares, arrastra P o usa los deslizadores r de P y θ de P; marca Forma compleja para ver z. Pulsa Punto objetivo o Convertir para practicar. En Gráfica r = f(θ), elige una Curva, ajusta a, b o k y pulsa Trazar, o arrastra sobre cualquiera de las dos gráficas para mover θ. En Área, ajusta el Ángulo inicial α, el Ángulo final β y el Número de sectores. Unidad de ángulo cambia entre grados y radianes.

Parámetros que puedes cambiar

  • Pantalla Coordenadas polares, Gráfica r = f(θ), Área
  • Curva Rosa (cos), Rosa (sen), Caracol de Pascal (cos), Caracol de Pascal (sen), Circunferencia de centro O, Circunferencia que pasa por O, Espiral de Arquímedes, Lemniscata de Bernoulli
  • Parámetro a 0,5–5
  • Parámetro b (caracol) -5–5
  • Parámetro k (rosa) 1–8
  • Ángulo θ en la gráfica 0–720 °
  • Unidad de ángulo Grados, Radianes
  • Ángulo inicial α -360–720 °
  • Ángulo final β -360–720 °
  • Número de sectores 1–60
  • r del punto P -6–6
  • θ del punto P -360–360 °
  • Forma compleja
  • Ajustar a la cuadrícula

Preguntas para explorar

  1. ¿Por qué r = 3 cos 2θ tiene cuatro pétalos y r = 3 cos 3θ solo tres?
  2. Si r es negativo y decrece, ¿el punto se acerca o se aleja del polo?
  3. ¿Por qué la suma de sectores ½ r² Δθ se acerca al área al aumentar el número de sectores?

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