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Coordonnées polaires et courbes polaires – conversion, rosaces, limaçons, spirales et aire

MathématiquesFonctions et courbes16–17 ans

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Faites glisser un point P pour passer des coordonnées polaires (r ; θ) aux coordonnées cartésiennes (x ; y) et inversement, voyez les autres écritures du même point et la forme trigonométrique d’un nombre complexe. Tracez r = f(θ) (rosaces, limaçons de Pascal, cardioïdes, cercles, spirale d’Archimède, lemniscate) pendant que θ avance, en lien avec la courbe de r en fonction de θ, avec dr/dθ, la pente dy/dx de la tangente et les intervalles où r croît ou décroît. L’écran d’aire calcule ½∫r²dθ entre deux demi-droites et la compare à une somme de secteurs circulaires.

Leçon : Coordonnées polaires et courbes en polaires

Ce qu’elle montre

En coordonnées polaires, un point est repéré par sa distance r au pôle O et par l’angle θ que fait sa demi-droite avec l’axe polaire, mesuré dans le sens direct. Alors x = r cos θ et y = r sin θ, et chaque point a de nombreuses écritures polaires, y compris avec r négatif. Une courbe polaire r = f(θ) se trace quand θ augmente ; la lire à côté de la courbe de r en fonction de θ montre où r croît ou décroît et quand le point s’approche ou s’éloigne du pôle. La pente est dy/dx = (r′ sin θ + r cos θ)/(r′ cos θ − r sin θ) et l’aire balayée par le rayon vaut ½∫r² dθ.

Mode d’emploi

Dans Coordonnées polaires, faites glisser P ou utilisez les curseurs r de P et θ de P ; cochez Forme complexe pour voir z. Appuyez sur Point cible ou Convertir pour vous entraîner. Dans Courbe r = f(θ), choisissez une Courbe, réglez a, b ou k, puis appuyez sur Tracer ou faites glisser sur l’un des deux graphiques pour déplacer θ. Dans Aire, réglez l’Angle de départ α, l’Angle d’arrivée β et le Nombre de secteurs. Unité d’angle passe des degrés aux radians.

Paramètres modifiables

  • Écran Coordonnées polaires, Courbe r = f(θ), Aire
  • Courbe Rosace (cos), Rosace (sin), Limaçon de Pascal (cos), Limaçon de Pascal (sin), Cercle de centre O, Cercle passant par O, Spirale d’Archimède, Lemniscate de Bernoulli
  • Paramètre a 0,5–5
  • Paramètre b (limaçon) -5–5
  • Paramètre k (rosace) 1–8
  • Angle θ sur la courbe 0–720 °
  • Unité d’angle Degrés, Radians
  • Angle de départ α -360–720 °
  • Angle d’arrivée β -360–720 °
  • Nombre de secteurs 1–60
  • r du point P -6–6
  • θ du point P -360–360 °
  • Forme complexe
  • Aimanter à la grille

Questions à explorer

  1. Pourquoi r = 3 cos 2θ a-t-elle quatre pétales alors que r = 3 cos 3θ n’en a que trois ?
  2. Quand r est négatif et décroissant, le point s’approche-t-il ou s’éloigne-t-il du pôle ?
  3. Pourquoi la somme des secteurs ½ r² Δθ se rapproche-t-elle de l’aire quand le nombre de secteurs augmente ?

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