من القاطع إلى المماس – المشتقة بوصفها نهاية

ماذا تعرض

ميل القاطع المار بالنقطتين P(a, f(a)) و Q(a + h, f(a + h)) هو متوسط معدل التغير (f(a + h) − f(a))/h. وعندما تقترب h من 0 يتحول القاطع إلى المماس، ويقترب خارج القسمة من المشتقة f′(a)، أي معدل التغير اللحظي؛ ويبيّن الحساب من التعريف للدالتين x² و x³ سبب ذلك. والتكبير حول P يكشف الخطية المحلية: قرب P يشبه المنحنى تقريبه الخطي L(x). أما عند نقطة زاوية أو نقطة نتوء أو مماس رأسي فتختلف النهايتان من الجهتين أو تكونان لانهائيتين، فلا توجد f′(a). ويحوّل تمثيل قذف الكرة الميول إلى سرعات بوحدة m/s.

طريقة الاستخدام

اختر «الدالة»، ثم اسحب P و Q على المنحنى أو حرّك منزلق h. اضغط «تحريك h → 0» وشاهد القاطع يدور نحو المماس بينما تستقر قيم جدول خوارج قسمة الفروق عند f′(a). فعّل «المماس» و«العمودي» لترى المستقيمين ومعادلتيهما، وارفع «التكبير حول P» لتختبر الخطية المحلية. جرّب |x| و ∛(x²) و ∛x مع وضع P عند 0.

المعاملات القابلة للتغيير

• الدالة f(x) = x², f(x) = x³, f(x) = sin x, f(x) = eˣ, f(x) = |x| (نقطة زاوية), f(x) = ∛(x²) (نقطة نتوء), f(x) = ∛x (مماس رأسي), كرة مقذوفة لأعلى: s(t) = 20t − 4.905t²
• الإحداثي السيني a للنقطة P -3–4
• الخطوة h (تقع Q عند a + h) -2–2
• إظهار المماس
• إظهار العمودي
• التكبير حول P (أُس العدد 10) 0–3

أسئلة للاستكشاف

1. للدالة f(x) = x² عند a = 1، ما القيمة التي تقترب منها خوارج القسمة في الجدول كلما صغرت h؟
2. لماذا تقترب خوارج القسمة للدالة |x| عند 0 من قيمتين مختلفتين لقيم h الموجبة والسالبة؟
3. في أي لحظة تنعدم السرعة اللحظية للكرة، وكيف يبدو المماس عندئذ؟