De la secante a la tangente: la derivada como límite

Qué muestra

La pendiente de la secante por P(a, f(a)) y Q(a + h, f(a + h)) es la tasa de variación media (f(a + h) − f(a))/h. Cuando h tiende a 0, la secante se convierte en la tangente y el cociente tiende a la derivada f′(a), la tasa de variación instantánea; el cálculo por definición para x² y x³ muestra por qué. El zoom en P revela la linealidad local: cerca de P la curva se parece a su linealización L(x). En un punto anguloso, una cúspide o una tangente vertical, f′(a) no existe. La gráfica de la pelota convierte pendientes en velocidades en m/s.

Cómo usarla

Elige una Función y arrastra P y Q a lo largo de la curva o mueve el deslizador h. Pulsa Animar h → 0 y observa cómo la secante gira hasta la tangente mientras la tabla de cocientes se estabiliza en f′(a). Marca Tangente y Normal para ver ambas rectas y sus ecuaciones, y sube Zoom en P para comprobar la linealidad local. Prueba |x|, ∛(x²) y ∛x con P en 0.

Parámetros que puedes cambiar

• Función f(x) = x², f(x) = x³, f(x) = sin x, f(x) = eˣ, f(x) = |x| (punto anguloso), f(x) = ∛(x²) (cúspide), f(x) = ∛x (tangente vertical), Pelota lanzada hacia arriba: s(t) = 20t − 4,905t²
• Coordenada x de P (a) -3–4
• Paso h (Q está en a + h) -2–2
• Mostrar tangente
• Mostrar normal
• Zoom en P (×10^zoom) 0–3

Preguntas para explorar

1. ¿A qué valor se acercan los cocientes de la tabla para f(x) = x² en a = 1 cuando h se hace más pequeño?
2. ¿Por qué los cocientes de |x| en 0 se acercan a valores distintos con h positivo y negativo?
3. ¿En qué instante es cero la velocidad instantánea de la pelota y cómo es entonces la tangente?