Dari garis potong ke garis singgung: turunan sebagai limit

Yang ditunjukkan

Gradien garis potong yang melalui P(a, f(a)) dan Q(a + h, f(a + h)) adalah laju perubahan rata-rata (f(a + h) − f(a))/h. Saat h mendekati 0, garis potong menjadi garis singgung dan hasil baginya mendekati turunan f′(a), yaitu laju perubahan sesaat; perhitungan dengan definisi untuk x² dan x³ menunjukkan alasannya. Memperbesar di P memperlihatkan kelinearan lokal: di dekat P kurva tampak seperti linearisasinya L(x). Di titik sudut, titik tajam, atau garis singgung vertikal, limit kiri dan kanan berbeda atau tak hingga, sehingga f′(a) tidak ada. Grafik bola mengubah gradien menjadi kecepatan dalam m/s.

Cara menggunakan

Pilih Fungsi, lalu seret P dan Q di sepanjang kurva atau geser penggeser h. Tekan Animasikan h → 0 dan amati garis potong berputar ke garis singgung sementara tabel hasil bagi menetap pada f′(a). Centang Garis singgung dan Garis normal untuk melihat kedua garis dan persamaannya, lalu naikkan Perbesar di P untuk menguji kelinearan lokal. Cobalah |x|, ∛(x²), dan ∛x dengan P di 0.

Parameter yang dapat diubah

• Fungsi f(x) = x², f(x) = x³, f(x) = sin x, f(x) = eˣ, f(x) = |x| (titik sudut), f(x) = ∛(x²) (titik tajam), f(x) = ∛x (garis singgung vertikal), Bola dilempar ke atas: s(t) = 20t − 4,905t²
• Koordinat x titik P (a) -3–4
• Langkah h (Q di a + h) -2–2
• Tampilkan garis singgung
• Tampilkan garis normal
• Perbesar di P (×10^zoom) 0–3

Pertanyaan untuk dijelajahi

1. Untuk f(x) = x² di a = 1, nilai berapa yang didekati hasil bagi pada tabel saat h makin kecil?
2. Mengapa hasil bagi |x| di 0 mendekati nilai berbeda untuk h positif dan h negatif?
3. Pada saat kapan kecepatan sesaat bola bernilai nol, dan seperti apa garis singgungnya saat itu?