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Von der Sekante zur Tangente – die Ableitung als Grenzwert

MathematikAnalysisAlter 16–17

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Ziehen Sie zwei Punkte P und Q auf einer Kurve, um die mittlere Änderungsrate (f(a + h) − f(a))/h abzulesen, und verkleinern Sie dann h: Die Sekante wird zur Tangente, während eine Tabelle der Differenzenquotienten gegen f′(a) strebt. Zeigen Sie Tangente und Normale mit ihren Gleichungen an, zoomen Sie auf P, um lokale Linearität und den Fehler der Linearisierung zu sehen, leiten Sie x² und x³ mit der h-Methode ab, untersuchen Sie Stellen ohne Ableitung (|x|, ∛(x²), ∛x) und lesen Sie Durchschnitts- und Momentangeschwindigkeit eines nach oben geworfenen Balls ab.

Lektion: Änderungsraten und Ableitung mit der h-Methode

Was sie zeigt

Die Steigung der Sekante durch P(a | f(a)) und Q(a + h | f(a + h)) ist die mittlere Änderungsrate (f(a + h) − f(a))/h. Geht h gegen 0, wird die Sekante zur Tangente und der Differenzenquotient strebt gegen die Ableitung f′(a), die momentane Änderungsrate; die h-Methode für x² und x³ zeigt, warum. Ein Zoom auf P macht die lokale Linearität sichtbar: Nahe P sieht die Kurve wie ihre Linearisierung L(x) aus. An einem Knick, einer Spitze oder einer senkrechten Tangente unterscheiden sich die einseitigen Grenzwerte oder sind unendlich, f′(a) existiert dann nicht. Der Graph des Wurfs übersetzt Steigungen in Geschwindigkeiten in m/s.

So funktioniert es

Wählen Sie eine Funktion und ziehen Sie P und Q entlang der Kurve oder verschieben Sie den Regler h. Klicken Sie auf h → 0 animieren: Die Sekante dreht sich zur Tangente, während sich die Tabelle der Differenzenquotienten bei f′(a) einpendelt. Aktivieren Sie Tangente und Normale, um beide Geraden mit Gleichung zu sehen, und erhöhen Sie Zoom auf P, um die lokale Linearität zu prüfen. Testen Sie |x|, ∛(x²) und ∛x mit P bei 0.

Einstellbare Parameter

  • Funktion f(x) = x², f(x) = x³, f(x) = sin x, f(x) = eˣ, f(x) = |x| (Knick), f(x) = ∛(x²) (Spitze), f(x) = ∛x (senkrechte Tangente), Senkrechter Wurf: s(t) = 20t − 4,905t²
  • x-Koordinate a von P -3–4
  • Schrittweite h (Q liegt bei a + h) -2–2
  • Tangente anzeigen
  • Normale anzeigen
  • Zoom auf P (×10^zoom) 0–3

Fragen zum Erkunden

  1. Welchem Wert nähern sich die Quotienten der Tabelle für f(x) = x² bei a = 1, wenn h kleiner wird?
  2. Warum nähern sich die Quotienten von |x| bei 0 für positives und negatives h verschiedenen Werten?
  3. Zu welchem Zeitpunkt ist die Momentangeschwindigkeit des Balls null, und wie sieht die Tangente dann aus?

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