Da secante à tangente: a derivada como limite

O que mostra

A inclinação da secante que passa por P(a, f(a)) e Q(a + h, f(a + h)) é a taxa de variação média (f(a + h) − f(a))/h. Quando h se aproxima de 0, a secante vira a tangente e o quociente tende à derivada f′(a), a taxa de variação instantânea; o cálculo pela definição para x² e x³ mostra por quê. Dar zoom em P revela a linearidade local: perto de P a curva parece sua linearização L(x). Num ponto anguloso, numa cúspide ou numa tangente vertical os limites laterais diferem ou são infinitos, então f′(a) não existe. O gráfico da bola transforma inclinações em velocidades em m/s.

Como usar

Escolha uma Função e arraste P e Q ao longo da curva ou mova o controle h. Clique em Animar h → 0 e veja a secante girar até a tangente enquanto a tabela de quocientes se estabiliza em f′(a). Marque Tangente e Normal para ver as duas retas e suas equações, e aumente o Zoom em P para testar a linearidade local. Experimente |x|, ∛(x²) e ∛x com P em 0.

Parâmetros que você pode mudar

• Função f(x) = x², f(x) = x³, f(x) = sin x, f(x) = eˣ, f(x) = |x| (ponto anguloso), f(x) = ∛(x²) (cúspide), f(x) = ∛x (tangente vertical), Bola lançada para cima: s(t) = 20t − 4,905t²
• Abscissa a de P -3–4
• Passo h (Q está em a + h) -2–2
• Mostrar tangente
• Mostrar normal
• Zoom em P (×10^zoom) 0–3

Perguntas para explorar

1. Para f(x) = x² em a = 1, de que valor se aproximam os quocientes da tabela quando h diminui?
2. Por que os quocientes de |x| em 0 se aproximam de valores diferentes para h positivo e negativo?
3. Em que instante a velocidade instantânea da bola é zero, e como fica a tangente nesse momento?