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De la sécante à la tangente : le nombre dérivé comme limite

MathématiquesAnalyse16–17 ans

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Faites glisser deux points P et Q sur une courbe pour lire le taux de variation moyen (f(a + h) − f(a))/h, puis faites diminuer h et regardez la sécante devenir la tangente pendant qu'un tableau de taux d'accroissement s'approche de f′(a). Affichez la tangente et la normale avec leurs équations, zoomez sur P pour voir la linéarité locale et l'erreur de l'approximation affine, calculez x² et x³ à partir de la définition, explorez des points sans nombre dérivé (|x|, ∛(x²), ∛x) et lisez la vitesse moyenne et instantanée d'une balle lancée vers le haut.

Leçon : Taux de variation et nombre dérivé

Ce qu’elle montre

Le coefficient directeur de la sécante passant par P(a ; f(a)) et Q(a + h ; f(a + h)) est le taux de variation moyen (f(a + h) − f(a))/h. Quand h → 0, la sécante devient la tangente et le quotient tend vers le nombre dérivé f′(a), le taux de variation instantané ; le calcul par la définition pour x² et x³ montre pourquoi. Zoomer sur P révèle la linéarité locale : près de P, la courbe ressemble à son approximation affine L(x). En un point anguleux, de rebroussement ou à tangente verticale, f′(a) n'existe pas. La courbe de la balle traduit les pentes en vitesses en m/s.

Mode d’emploi

Choisissez une Fonction, puis faites glisser P et Q le long de la courbe ou déplacez le curseur h. Cliquez sur Animer h → 0 : la sécante pivote vers la tangente pendant que le tableau des taux d'accroissement se stabilise sur f′(a). Cochez Tangente et Normale pour voir les deux droites et leurs équations, et augmentez le Zoom sur P pour tester la linéarité locale. Essayez |x|, ∛(x²) et ∛x avec P en 0.

Paramètres modifiables

  • Fonction f(x) = x², f(x) = x³, f(x) = sin x, f(x) = eˣ, f(x) = |x| (point anguleux), f(x) = ∛(x²) (point de rebroussement), f(x) = ∛x (tangente verticale), Balle lancée vers le haut : s(t) = 20t − 4,905t²
  • Abscisse a de P -3–4
  • Pas h (Q a pour abscisse a + h) -2–2
  • Afficher la tangente
  • Afficher la normale
  • Zoom sur P (×10^zoom) 0–3

Questions à explorer

  1. Pour f(x) = x² en a = 1, vers quelle valeur tendent les quotients du tableau quand h diminue ?
  2. Pourquoi les quotients de |x| en 0 tendent-ils vers des valeurs différentes pour h positif et négatif ?
  3. À quel instant la vitesse instantanée de la balle est-elle nulle, et à quoi ressemble alors la tangente ?

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