Taylor- und Maclaurin-Polynome – Funktionen annähern

Was sie zeigt

Ein Taylorpolynom vom Grad n stimmt an der Entwicklungsstelle a mit der Funktion und ihren ersten n Ableitungen überein: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)/k!·(x − a)ᵏ; für a = 0 heißt es Maclaurin-Polynom. Nahe bei a schmiegt sich das Polynom an den Graphen; weiter weg wächst der Fehler |Rₙ(x)|. Die Lagrange-Schranke M|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! begrenzt diesen Fehler, und für ln(1 + x), 1/(1 − x) und arctan x konvergiert die Reihe nur auf einem Intervall. Der Bildschirm Kleine Winkel vergleicht sin θ ≈ θ, cos θ ≈ 1 − θ²/2 und tan θ ≈ θ, θ im Bogenmaß.

So funktioniert es

Wählen Sie die Funktion f(x) und stellen Sie Grad n, Entwicklungsstelle a und Stelle x ein, oder ziehen Sie im Graphen: nahe der blauen Raute verschieben Sie a, sonst x. Klicken Sie auf n erhöhen, um zu sehen, wie sich das Polynom dem Graphen nähert. Ändern Sie die Toleranz ε und lesen Sie ab, wo der Fehler darunter bleibt. Unter Kleine Winkel ziehen Sie den Regler Winkel θ und vergleichen die Tabelle.

Einstellbare Parameter

• Bildschirm Taylorpolynom, Kleine Winkel
• Funktion f(x) sin x, cos x, eˣ, ln(1 + x), 1/(1 − x), arctan x
• Grad n 0–15
• Entwicklungsstelle a -3–3
• Stelle x, an der der Fehler geprüft wird -6–6
• Toleranz ε 0,1, 0,01, 0,001
• Konvergenzbereich schattieren
• Fehlerband ±ε anzeigen
• Winkel θ (Bildschirm Kleine Winkel) 0–90 °

Fragen zum Erkunden

1. Welcher Grad n hält für sin x mit a = 0 den Fehler bei x = 2 erstmals unter 0,01?
2. Warum verschlechtert ein höherer Grad n die Näherung von ln(1 + x) bei x = 1,5?
3. Bis zu welchem Winkel in Grad ist sin θ ≈ θ ungefähr auf 1 % genau?