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Polinomios de Taylor y de Maclaurin – aproximar funciones

MatemáticasCálculoEdades 16–17

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Elige una función (sen x, cos x, eˣ, ln(1 + x), 1/(1 − x), arctan x), un centro a y un grado n, y observa cómo el polinomio de Taylor se ajusta a la curva. Una gráfica del error en escala logarítmica muestra la cota de Lagrange, una banda de error ±ε y el intervalo de convergencia sombreado, y una tabla recoge cada derivada f⁽ᵏ⁾(a) y cada término. La pantalla Ángulos pequeños compara sen θ ≈ θ, cos θ ≈ 1 − θ²/2 y tan θ ≈ θ con su error relativo, con θ en radianes.

Lección: Series de Taylor y de Maclaurin: polinomios de Taylor, cota del error de Lagrange, intervalo de convergencia; aproximaciones de ángulo pequeño

Qué muestra

Un polinomio de Taylor de grado n coincide con una función y con sus n primeras derivadas en un centro a: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)/k!·(x − a)ᵏ; con a = 0 se llama polinomio de Maclaurin. Cerca de a el polinomio se pega a la curva; más lejos el error |Rₙ(x)| crece. La cota de Lagrange M|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! limita ese error, y para ln(1 + x), 1/(1 − x) y arctan x la serie solo converge en un intervalo. La pantalla Ángulos pequeños compara sen θ ≈ θ, cos θ ≈ 1 − θ²/2 y tan θ ≈ θ, con θ en radianes.

Cómo usarla

Elige la Función f(x) y mueve Grado n, Centro a y Punto x, o arrastra sobre la gráfica: cerca del rombo azul mueves a y en cualquier otro sitio mueves x. Pulsa Subir n para ver cómo el polinomio se acerca a la curva. Cambia la Tolerancia ε y lee dónde el error queda por debajo. En Ángulos pequeños, arrastra el deslizador Ángulo θ y compara la tabla.

Parámetros que puedes cambiar

  • Pantalla Polinomio de Taylor, Ángulos pequeños
  • Función f(x) sen x, cos x, eˣ, ln(1 + x), 1/(1 − x), arctan x
  • Grado n 0–15
  • Centro a -3–3
  • Punto x donde se mide el error -6–6
  • Tolerancia ε 0,1, 0,01, 0,001
  • Sombrear el intervalo de convergencia
  • Mostrar la banda de error ±ε
  • Ángulo θ (pantalla Ángulos pequeños) 0–90 °

Preguntas para explorar

  1. Para sen x con a = 0, ¿qué grado n mantiene por primera vez el error en x = 2 por debajo de 0,01?
  2. ¿Por qué un grado n mayor empeora la aproximación de ln(1 + x) en x = 1,5?
  3. ¿Hasta qué ángulo en grados, más o menos, es sen θ ≈ θ exacta con un error menor del 1 %?

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