Polinômios de Taylor e de Maclaurin – aproximação de funções

O que mostra

Um polinômio de Taylor de grau n coincide com uma função e com suas n primeiras derivadas num centro a: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)/k!·(x − a)ᵏ; com a = 0, ele se chama polinômio de Maclaurin. Perto de a o polinômio cola na curva; mais longe o erro |Rₙ(x)| cresce. A cota de Lagrange M|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! limita esse erro, e para ln(1 + x), 1/(1 − x) e arctg x a série só converge num intervalo. A tela Ângulos pequenos compara sen θ ≈ θ, cos θ ≈ 1 − θ²/2 e tg θ ≈ θ, com θ em radianos.

Como usar

Escolha a Função f(x) e mova Grau n, Centro a e Ponto x, ou arraste no gráfico: perto do losango azul você move a; em qualquer outro lugar, move x. Clique em Aumentar n para ver o polinômio se aproximar da curva. Mude a Tolerância ε e veja onde o erro fica abaixo dela. Em Ângulos pequenos, arraste o controle Ângulo θ e compare a tabela.

Parâmetros que você pode mudar

• Tela Polinômio de Taylor, Ângulos pequenos
• Função f(x) sen x, cos x, eˣ, ln(1 + x), 1/(1 − x), arctg x
• Grau n 0–15
• Centro a -3–3
• Ponto x onde o erro é medido -6–6
• Tolerância ε 0,1, 0,01, 0,001
• Sombrear o intervalo de convergência
• Mostrar a faixa de erro ±ε
• Ângulo θ (tela Ângulos pequenos) 0–90 °

Perguntas para explorar

1. Para sen x com a = 0, qual é o primeiro grau n que mantém o erro em x = 2 abaixo de 0,01?
2. Por que um grau n maior piora a aproximação de ln(1 + x) em x = 1,5?
3. Até qual ângulo, em graus, sen θ ≈ θ tem erro menor que 1 %, aproximadamente?