Polynômes de Taylor et de Maclaurin – approcher une fonction

Ce qu’elle montre

Un polynôme de Taylor de degré n a la même valeur et les mêmes n premières dérivées qu'une fonction en un centre a : Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)/k!·(x − a)ᵏ ; pour a = 0, on parle de polynôme de Maclaurin. Près de a, le polynôme colle à la courbe ; plus loin, l'erreur |Rₙ(x)| grandit. Le majorant de Lagrange M|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! borne cette erreur, et pour ln(1 + x), 1/(1 − x) et arctan x la série ne converge que sur un intervalle. L'écran Petits angles compare sin θ ≈ θ, cos θ ≈ 1 − θ²/2 et tan θ ≈ θ, θ en radians.

Mode d’emploi

Choisissez la Fonction f(x), puis réglez Degré n, Centre a et Point x, ou faites glisser sur le graphique : près du losange bleu, vous déplacez a ; ailleurs, vous déplacez x. Appuyez sur Augmenter n pour voir le polynôme se rapprocher de la courbe. Changez la Tolérance ε et lisez où l'erreur reste en dessous. Dans Petits angles, faites glisser le curseur Angle θ et comparez le tableau.

Paramètres modifiables

• Écran Polynôme de Taylor, Petits angles
• Fonction f(x) sin x, cos x, eˣ, ln(1 + x), 1/(1 − x), arctan x
• Degré n 0–15
• Centre a -3–3
• Point x où l'erreur est mesurée -6–6
• Tolérance ε 0,1, 0,01, 0,001
• Ombrer l'intervalle de convergence
• Afficher la bande d'erreur ±ε
• Angle θ (écran Petits angles) 0–90 °

Questions à explorer

1. Pour sin x en a = 0, quel est le premier degré n qui garde l'erreur en x = 2 sous 0,01 ?
2. Pourquoi un degré n plus grand dégrade-t-il l'approximation de ln(1 + x) en x = 1,5 ?
3. Jusqu'à quel angle en degrés, environ, sin θ ≈ θ reste-t-elle juste à 1 % près ?