Polinomial Taylor dan Maclaurin – menghampiri fungsi

Yang ditunjukkan

Polinomial Taylor berderajat n bernilai sama dengan sebuah fungsi beserta n turunan pertamanya di pusat a: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)/k!·(x − a)ᵏ; jika a = 0, namanya polinomial Maclaurin. Di dekat a polinomial menempel pada kurva; makin jauh, galat |Rₙ(x)| membesar. Batas Lagrange M|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! membatasi galat itu, dan untuk ln(1 + x), 1/(1 − x), serta arctan x deretnya hanya konvergen pada suatu selang. Layar Sudut kecil membandingkan sin θ ≈ θ, cos θ ≈ 1 − θ²/2, dan tan θ ≈ θ, dengan θ dalam radian.

Cara menggunakan

Pilih Fungsi f(x), lalu geser Derajat n, Pusat a, dan Titik x, atau seret pada grafik: di dekat belah ketupat biru Anda memindahkan a, di tempat lain Anda memindahkan x. Tekan Naikkan n untuk melihat polinomial mendekati kurva. Ubah Toleransi ε dan baca di mana galat tetap di bawahnya. Di Sudut kecil, seret penggeser Sudut θ dan bandingkan tabel.

Parameter yang dapat diubah

• Layar Polinomial Taylor, Sudut kecil
• Fungsi f(x) sin x, cos x, eˣ, ln(1 + x), 1/(1 − x), arctan x
• Derajat n 0–15
• Pusat a -3–3
• Titik x tempat galat diperiksa -6–6
• Toleransi ε 0,1, 0,01, 0,001
• Arsir selang kekonvergenan
• Tampilkan pita galat ±ε
• Sudut θ (layar Sudut kecil) 0–90 °

Pertanyaan untuk dijelajahi

1. Untuk sin x dengan a = 0, derajat n berapa yang pertama kali membuat galat di x = 2 di bawah 0,01?
2. Mengapa derajat n yang lebih tinggi justru memperburuk hampiran ln(1 + x) di x = 1,5?
3. Sampai sudut berapa derajat, kira-kira, hampiran sin θ ≈ θ teliti hingga 1 %?