Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck – Höhenmessung mit dem Höhenwinkel

Was sie zeigt

Im rechtwinkligen Dreieck ABC mit dem rechten Winkel bei A gelten für den spitzen Winkel α bei B: sin α = Gegenkathete/Hypotenuse, cos α = Ankathete/Hypotenuse, tan α = Gegenkathete/Ankathete und cot α = Ankathete/Gegenkathete. Wird das Dreieck bei festem α vergrößert, bleiben alle Verhältnisse gleich; sie hängen also nur vom Winkel ab. Die Beziehungen sin²α + cos²α = 1 und sin C = cos α für Komplementwinkel werden live geprüft. Der Anwendungsmodus bestimmt eine Gebäudehöhe aus dem Höhenwinkel: h = d·tan α plus die Augenhöhe des Beobachters.

So funktioniert es

Ändern Sie im Modus Rechtw. Dreieck den spitzen Winkel α und beobachten Sie die vier Verhältnisse; halten Sie dann α fest und ändern Sie die Ankathete AB, um zu zeigen, dass die Verhältnisse gleich bleiben. Wechseln Sie zu Gebäudehöhe messen, stellen Sie Abstand, Höhenwinkel und Augenhöhe des Beobachters ein und lassen Sie die Lernenden die Höhe mit tan α berechnen, bevor sie das Ergebnis ablesen. Besprechen Sie, was passiert, wenn man die Augenhöhe vergisst.

Einstellbare Parameter

• Spitzer Winkel α 5–85 Grad
• Ankathete AB (Abstand zum Gebäude) 1–20 m
• Modus Rechtwinkliges Dreieck – Seitenverhältnisse, Anwendung: Gebäudehöhe messen
• Augenhöhe des Beobachters 1–2 m

Fragen zum Erkunden

1. Warum ist sin α für einen spitzen Winkel immer kleiner als 1?
2. Wie ändert sich tan α, wenn α von 5° auf 85° wächst?
3. Wie groß ist der Fehler bei der Gebäudehöhe, wenn man die Augenhöhe des Beobachters vernachlässigt?