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Einheitskreis und die Graphen von Sinus, Kosinus, Tangens

MathematikTrigonometrieAlter 16–17

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Ziehen Sie den Punkt M auf dem Einheitskreis, und der zugehörige Punkt bewegt sich synchron auf dem Graphen von y = sin x, cos x oder tan x. Die Gerade y = m, die den Graphen schneidet, zeigt die Lösungen einer einfachen trigonometrischen Gleichung, markiert auf Kreis und Graph zusammen mit der allgemeinen Lösungsformel. Der Bildschirm Kehrwerte zeigt 1/cos x, 1/sin x und cot x mit ihren senkrechten Asymptoten; der Bildschirm Umkehrfunktionen schränkt den Definitionsbereich von sin, cos und tan ein und spiegelt an y = x, um arcsin, arccos und arctan mit ihren Hauptwerten und Gleichungen im Anwendungskontext zu erhalten. Der Bildschirm Transformation zeichnet y = A sin(B(x − C)) + D (oder cos) mit Schiebereglern und zeigt Amplitude, Periode, Phasenverschiebung und Mittellinie, verknüpft mit einem Punkt auf einem Kreis mit Radius |A|, dazu Modelle für Gezeiten, Tageslänge und Riesenrad.

Lektion: Trigonometrische Werte, trigonometrische Funktionen, einfache trigonometrische Gleichungen

Was sie zeigt

Auf dem Einheitskreis hat der Punkt M zum Winkel x die Koordinaten (cos x; sin x), und tan x = sin x / cos x, sofern cos x ≠ 0. Eine Gerade y = m schneidet jeden Graphen in den Lösungen von f(x) = m. Die Kehrwertfunktionen 1/cos x, 1/sin x und cot x = cos x/sin x sind dort nicht definiert, wo der Nenner null ist; dort liegen senkrechte Asymptoten. Eingeschränkt auf [−π/2; π/2] (sin), [0; π] (cos) und ]−π/2; π/2[ (tan) sind die Funktionen umkehrbar, und die Spiegelung an y = x liefert arcsin, arccos und arctan. Bei Transformation hat y = A sin(B(x − C)) + D die Amplitude |A|, die Periode 2π/B, die Phasenverschiebung C und die Mittellinie y = D; die Anwendungsmodelle sind idealisiert.

So funktioniert es

Ziehen Sie unter Kreis und Graphen den Punkt M oder drücken Sie Starten und lesen Sie sin x, cos x und tan x ab; stellen Sie dann m ein, um die Lösungen von f(x) = m zu sehen. Wählen Sie unter Kehrwerte 1/cos x, 1/sin x oder cot x und vergleichen Sie mit dem gestrichelten Ausgangsgraphen nahe seinen Nullstellen. Wählen Sie unter Umkehrfunktionen arcsin, arccos oder arctan, ziehen Sie über den Graphen, um m zu ändern, entfernen Sie das Häkchen bei Definitionsbereich begrenzen und lesen Sie die Anwendungsaufgabe. Bei Transformation verändern Sie A, B, C und D, wählen einen Kontext und passen die Tageslängen-Punkte an.

Einstellbare Parameter

  • Funktion y = sin x, y = cos x, y = tan x
  • Rechte Seite m von f(x) = m -2–2
  • Winkeleinheit Bogenmaß, Grad
  • Anzahl der 2π-Perioden im Graphen 1–3
  • Bildschirm Kreis und Graphen, Kehrwerte: 1/cos x, 1/sin x, cot x, Umkehrfunktionen: arcsin, arccos, arctan, Transformation: y = A sin(B(x − C)) + D
  • Transformation: A (Amplitude |A|) -3–3
  • Transformation: B (Periode 2π/B) 0,25–4
  • Transformation: Phasenverschiebung C (Bogenmaß) -3,14–3,14
  • Transformation: D (Mittellinie y = D) -3–3
  • Transformation: Kontext Keiner (x-y-Graph), Gezeiten, Tageslänge (London), Riesenrad

Fragen zum Erkunden

  1. Warum hat sin x = 0,5 zwei Lösungsscharen, tan x = 1 aber nur eine?
  2. Welche Periode hat y = tan x, und wie erklärt der Einheitskreis das?
  3. Welche Punkte des Einheitskreises liefern cos x = 0, und was geschieht dort mit tan x?

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