Cercle trigonométrique et courbes de sinus, cosinus, tangente
MathématiquesTrigonométrie16–17 ans
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À suivre dans Trigonométrie
Faites glisser le point M sur le cercle trigonométrique : le point correspondant se déplace en même temps sur la courbe de y = sin x, cos x ou tan x. La droite y = m qui coupe la courbe montre les solutions d'une équation trigonométrique de base, marquées à la fois sur le cercle et sur la courbe, avec la formule des solutions générales. L'écran Inverses (1/f) trace 1/cos x, 1/sin x et cot x avec leurs asymptotes verticales ; l'écran Réciproques restreint l'ensemble de définition de sin, cos et tan et le symétrise par rapport à y = x pour obtenir arcsin, arccos et arctan, leurs valeurs principales et des équations en contexte. L’écran Transformer trace y = A sin(B(x − C)) + D (ou cos) avec des curseurs et montre l’amplitude, la période, le déphasage et l’axe moyen reliés à un point d’un cercle de rayon |A|, avec des modèles de marée, de durée du jour et de grande roue.
Leçon : Valeurs trigonométriques, fonctions trigonométriques, équations trigonométriques de base
Ce qu’elle montre
Sur le cercle trigonométrique, le point M associé à l'angle x a pour coordonnées (cos x ; sin x), et tan x = sin x / cos x lorsque cos x ≠ 0. Une droite y = m coupe chaque courbe aux solutions de f(x) = m. Les fonctions 1/cos x, 1/sin x et cot x = cos x/sin x ne sont pas définies là où le dénominateur s'annule, d'où des asymptotes verticales. Restreintes à [−π/2 ; π/2] pour sin, [0 ; π] pour cos et ]−π/2 ; π/2[ pour tan, ces fonctions deviennent bijectives, et la symétrie par rapport à y = x donne arcsin, arccos et arctan. Sur Transformer, y = A sin(B(x − C)) + D a pour amplitude |A|, période 2π/B, déphasage C et axe moyen y = D ; marée, durée du jour et grande roue sont idéalisées.
Mode d’emploi
Dans Cercle et courbes, faites glisser M ou appuyez sur Lancer et lisez sin x, cos x et tan x, puis réglez m pour voir les solutions de f(x) = m. Dans Inverses (1/f), choisissez 1/cos x, 1/sin x ou cot x et comparez avec la courbe de départ en tirets près de ses zéros. Dans Réciproques, choisissez arcsin, arccos ou arctan, faites glisser sur la courbe pour changer m, décochez Restreindre le domaine pour comprendre la restriction, puis lisez le problème en contexte. Sur Transformer, réglez A, B, C et D, choisissez un Contexte et essayez d’ajuster les points de durée du jour.
Paramètres modifiables
- Fonction y = sin x, y = cos x, y = tan x
- Second membre m de f(x) = m -2–2
- Unité d'angle Radian, Degré
- Nombre de périodes de 2π affichées sur la courbe 1–3
- Écran Cercle et courbes, Inverses : 1/cos x, 1/sin x, cot x, Réciproques : arcsin, arccos, arctan, Transformer : y = A sin(B(x − C)) + D
- Écran Transformer : A (amplitude |A|) -3–3
- Écran Transformer : B (période 2π/B) 0,25–4
- Écran Transformer : déphasage C (radians) -3,14–3,14
- Écran Transformer : D (axe moyen y = D) -3–3
- Écran Transformer : contexte Aucun (courbe x–y), Marée, Durée du jour (Londres), Grande roue
Questions à explorer
- Pourquoi sin x = 0,5 a-t-elle deux familles de solutions alors que tan x = 1 n'en a qu'une ?
- Quelle est la période de y = tan x, et comment le cercle trigonométrique l'explique-t-il ?
- Quels points du cercle donnent cos x = 0, et que devient tan x en ces points ?
