المتجهات في الفضاء – المجموع والضرب القياسي والزاوية
الرياضياتالمتجهات والهندسة التحليلية17–18 سنة
جارٍ التحميل…
سجّل الدخول للتشغيليدور نظام الإحداثيات Oxyz بالفأرة أو بالإصبع، ويُظهر متجهين u وv بإحداثيات معطاة. ترسم المحاكاة صندوق الإحداثيات لكل متجه ومتوازي الأضلاع الخاص بالمجموع u + v، وتحسب الطولين والضرب القياسي u·v = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂ والزاوية بين المتجهين؛ اسحب منزلقات الإحداثيات لترى متى يكون u ⊥ v ومتى يكون للمتجهين الاتجاه نفسه. ويفتح المبدّل 2D | 3D نظام Oxyz مبنيًا بمكتبة three.js يعرض u وv ومجموعهما وفرقهما وصندوقي الإحداثيات وقوس الزاوية؛ ويمكنك تدويره وتكبيره، وتبقى الأعداد نفسها.
الدرس: المتجهات في الفضاء، نظام الإحداثيات، العبارة الإحداثية للعمليات على المتجهات
ماذا تعرض
في نظام الإحداثيات Oxyz يُعطى المتجه بثلاثة إحداثيات، هي الأطوال ذات الإشارة لأحرف صندوق إحداثياته، وطوله √(x² + y² + z²). المجموع u + v هو قطر متوازي الأضلاع المنشأ على u وv، والفرق u − v يمتد من رأس v إلى رأس u. ويعطي الضرب القياسي u·v = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂ الزاوية من العلاقة cos(u, v) = u·v/(|u|·|v|)؛ ويساوي صفرًا إذا وفقط إذا كان المتجهان متعامدين.
طريقة الاستخدام
اضبط الإحداثيات الثلاثة لكل من u وv، وفعّل «صندوق الإحداثيات» لتربط كل إحداثي بحرف من أحرف الصندوق. اسحب الخلفية لتدوير المنظر وتتأكد أن الشكل ثلاثي الأبعاد فعلًا؛ ويعيدك زر «إعادة المنظر» إلى البداية. غيّر إحداثيًا واحدًا من إحداثيات v حتى يصبح u·v = 0، ثم انظر إلى الزاوية من عدة اتجاهات. انتقل إلى 3D لمنظر يمكن تدويره وتكبيره بالأعداد نفسها.
المعاملات القابلة للتغيير
- u: الإحداثي x₁ -5–5
- u: الإحداثي y₁ -5–5
- u: الإحداثي z₁ -5–5
- v: الإحداثي x₂ -5–5
- v: الإحداثي y₂ -5–5
- v: الإحداثي z₂ -5–5
أسئلة للاستكشاف
- إذا كان u = (3; 1; 2)، فأوجد متجهًا v عموديًا على u. كيف تتحقق من ذلك دون الرسم؟
- كيف يُحسب طول متجه من إحداثياته الثلاثة، وهل يؤكد صندوق الإحداثيات ذلك؟
- يبدو متجهان متعامدين على الشاشة. لماذا قد لا يكونان كذلك، وكيف تحسم الأمر؟
