المستوى والكرة في الفضاء – بُعد المركز عن المستوى

ماذا تعرض

في الإحداثيات الفضائية، للمستوى Ax + By + Cz + D = 0 المتجه العمودي n = (A; B; C)، وبُعد النقطة I(x₀; y₀; z₀) عنه هو d = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D|/√(A² + B² + C²). ومقارنة d بنصف القطر R لكرة مركزها I تحدد وضعهما النسبي: إذا كان d < R قطع المستوى الكرة في دائرة مركزها H، وهي موقع العمود النازل من I، ونصف قطرها √(R² − d²)؛ وإذا كان d = R كان المستوى مماسًا للكرة في H؛ وإذا كان d > R فلا يلتقيان.

طريقة الاستخدام

اضبط «المعامل A للمستوى» و«المعامل B» و«المعامل C» لتحديد اتجاه العمود، ثم غيّر «المعامل D» وشاهد المستوى ينزلق موازيًا لنفسه. اختر «مركز الكرة I» واضبط «نصف القطر R». اطلب من الطلاب توقّع الوضع النسبي من قيمة d(I, (P)) في لوحة المعلومات قبل التحقق من الرسم. يفتح زر 3D عرضًا قابلًا للتدوير للكرة والمستوى والقطعة IH؛ ويعيد زر «العرض الأولي» الكاميرا إلى وضعها.

المعاملات القابلة للتغيير

• المعامل A للمستوى -4–4
• المعامل B -4–4
• المعامل C -4–4
• المعامل D -8–8
• مركز الكرة I (يمكن ضبطه أيضًا بالمنزلقات) I(0; 0; 0), I(1; 1; 1), I(2; −1; 1), I(−1; 2; 2)
• نصف القطر R 0.5–4

أسئلة للاستكشاف

1. مع تثبيت A وB وC، ما قيم D التي تجعل المستوى مماسًا للكرة؟
2. متى يساوي نصف قطر دائرة التقاطع نصف قطر الكرة R؟
3. ما دور النقطة H بالنسبة إلى دائرة التقاطع، وما علاقة القطعة IH بالمستوى؟