Vetores no espaço 3D – soma, produto escalar, ângulo
MatemáticaVetores e geometria analíticaIdades 17–18
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Um sistema de coordenadas Oxyz gira com o mouse ou o dedo, mostrando dois vetores u e v de coordenadas dadas. A simulação desenha a caixa de coordenadas de cada vetor e o paralelogramo da soma u + v, e calcula os módulos, o produto escalar u·v = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂ e o ângulo entre os vetores; arraste os controles das coordenadas para ver quando u ⊥ v ou quando têm o mesmo sentido. O botão 2D | 3D abre um sistema Oxyz construído com three.js com u, v, a soma, a diferença, as caixas de coordenadas e o arco do ângulo; você pode girar e ampliar, e os valores continuam os mesmos. A opção Produto vetorial acrescenta u × v, perpendicular aos dois pela regra da mão direita, as áreas do paralelogramo e do triângulo |u × v| e ½|u × v|, o plano por O, U e V, exemplos de física (torque, trabalho) e três tarefas autocorrigidas.
Aula: Vetores no espaço, sistemas de coordenadas, expressões em coordenadas das operações com vetores
O que mostra
Em um sistema de coordenadas Oxyz, um vetor é dado por três coordenadas, que são os comprimentos com sinal das arestas da sua caixa de coordenadas, e seu módulo é √(x² + y² + z²). A soma u + v é a diagonal do paralelogramo construído sobre u e v, e a diferença u − v vai da extremidade de v até a extremidade de u. O produto escalar u·v = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂ fornece o ângulo por cos(u, v) = u·v/(|u|·|v|); ele é zero exatamente quando os vetores são perpendiculares. O produto vetorial u × v é perpendicular aos dois, e seu módulo |u||v| sen θ é a área do paralelogramo.
Como usar
Defina as três coordenadas de u e v e ligue Caixa de coordenadas para relacionar cada coordenada a uma aresta. Arraste o fundo para girar a vista e confirmar que a figura é mesmo tridimensional; Redefinir vista volta ao início. Ajuste uma coordenada de v até que u·v = 0 e observe o ângulo de várias direções. Mude para 3D para ter uma vista que pode ser girada e ampliada, com os mesmos números. Marque Produto vetorial u × v para ver a regra da mão direita e as áreas.
Parâmetros que você pode mudar
- u: coordenada x₁ -5–5
- u: coordenada y₁ -5–5
- u: coordenada z₁ -5–5
- v: coordenada x₂ -5–5
- v: coordenada y₂ -5–5
- v: coordenada z₂ -5–5
- Produto vetorial u × v
- Área Paralelogramo, Triângulo
Perguntas para explorar
- Com u = (3; 1; 2), qual vetor v é perpendicular a u? Como você verifica isso sem olhar a figura?
- Como se calcula o módulo de um vetor a partir das três coordenadas? A regra vale na caixa de coordenadas?
- Dois vetores parecem perpendiculares na tela. Por que podem não ser, e como você decide?
