المصفوفات 2 × 2 بوصفها تحويلات – المحدد والتركيب والمعكوس والمتجهات الذاتية
الرياضياتالمتجهات والهندسة التحليلية16–17 سنة
جارٍ التحميل…
سجّل الدخول للتشغيلعدّل مصفوفة 2 × 2، أو اسحب صورتي متجهي الوحدة، وشاهد مربع الوحدة وشكلًا (الحرف F أو مثلثًا أو دائرة) يتحولان، مع المحدد بوصفه معامل تغيّر المساحة بإشارته. وتشمل المصفوفات الجاهزة الدوران والانعكاس والتكبير (التحاكي) والقص والتمدد في اتجاه والإسقاط، مع انسحاب اختياري. تُظهر شاشة «التركيب» أن الترتيب مهم (BA ≠ AB)، وتحل شاشة «المعكوس والأنظمة» المعادلة AX = B باستخدام A⁻¹ (بما في ذلك 3 × 3)، وتُظهر شاشة «المتجهات الذاتية» متجهات ذاتية تبقى على مستقيمها، وحساب Mⁿ عبر التحويل إلى مصفوفة قطرية.
الدرس: المصفوفات بوصفها تحويلات خطية: ضرب المصفوفات، المحدد والمساحة، تركيب التحويلات، المصفوفة العكسية، حل AX = B، القيم الذاتية والمتجهات الذاتية والتحويل إلى مصفوفة قطرية
ماذا تعرض
تنقل المصفوفة M من النوع 2 × 2 كل نقطة x في المستوى إلى Mx. عموداها هما صورتا (1, 0) و(0, 1)، لذا لكل من الدوران والانعكاس والتكبير والقص والتمدد مصفوفته الخاصة. والمحدد ad − bc هو معامل تغيّر المساحة بإشارته: القيمة السالبة تعني أن الصورة معكوسة كالمرآة، والصفر يعني أن المستوى ينضغط على مستقيم فلا يوجد معكوس. وتطبيق A ثم B هو الضرب BA. والمتجه الذاتي يحافظ على اتجاهه، Mv = λv، ومع قيمتين ذاتيتين مختلفتين يكون M = PDP⁻¹، مما يسهّل حساب القوى Mⁿ.
طريقة الاستخدام
في شاشة «التحويل» اختر مصفوفة جاهزة أو اكتب العناصر الأربعة، واسحب رأسي السهمين î′ وĵ′ أو النقطة P، ثم اضغط «تحريك I → M». وفي شاشة «التركيب» اختر «أولًا: A» و«ثم: B» وقارن الترتيبين. وفي شاشة «المعكوس والأنظمة» اختر نظامًا وعدّل المعاملات. وفي شاشة «المتجهات الذاتية» اسحب v حول الدائرة أو اضغط «تدوير v»، وغيّر القوة n.
المعاملات القابلة للتغيير
- الشاشة التحويل, التركيب, المعكوس والأنظمة, المتجهات الذاتية
- مصفوفة جاهزة مخصصة, مصفوفة الوحدة I, دوران حول O, انعكاس في مستقيم يمر بالنقطة O, تكبير مركزه O, قص موازٍ لمحور السينات, قص موازٍ لمحور الصادات, تمدد موازٍ لمحور السينات, تمدد موازٍ لمحور الصادات, إسقاط على مستقيم
- العنصر a (الصف 1، العمود 1) -4–4
- العنصر b (الصف 1، العمود 2) -4–4
- العنصر c (الصف 2، العمود 1) -4–4
- العنصر d (الصف 2، العمود 2) -4–4
- الزاوية θ (الدوران، الانعكاس، الإسقاط) -180–180 °
- المعامل k (التكبير، القص، التمدد) -3–3
- الشكل مربع الوحدة فقط, الحرف F, مثلث, دائرة الوحدة
- إظهار الشبكة بعد التحويل
- إضافة انسحاب t
- المركبة x للانسحاب t -4–4
- المركبة y للانسحاب t -4–4
- التحويل الأول A التحويل المحايد, دوران 90°, دوران 180°, دوران −90°, دوران 45°, انعكاس في محور السينات, انعكاس في محور الصادات, انعكاس في y = x, انعكاس في y = −x, تكبير ×2, تكبير ×½, قص على x، k = 1, قص على y، k = 1, تمدد على x، المعامل 2, تمدد على y، المعامل 2
- التحويل الثاني B التحويل المحايد, دوران 90°, دوران 180°, دوران −90°, دوران 45°, انعكاس في محور السينات, انعكاس في محور الصادات, انعكاس في y = x, انعكاس في y = −x, تكبير ×2, تكبير ×½, قص على x، k = 1, قص على y، k = 1, تمدد على x، المعامل 2, تمدد على y، المعامل 2
- الترتيب المعروض (شاشة التركيب) الترتيبان, A ثم B (BA), B ثم A (AB)
- نظام المعادلات حل وحيد (مجهولان), مستقيمان متوازيان (مجهولان), المستقيم نفسه (مجهولان), ثلاثة مجاهيل (3 × 3)
- تمثيل نظام 2 × 2 الصفوف: مستقيمان, الأعمدة: تركيب متجهات
- المصفوفة (شاشة المتجهات الذاتية) مصفوفة متماثلة, مصفوفة مثلثية, مصفوفة انتقال (مجموع كل عمود 1), انعكاس في y = x, قص (مستقيم واحد للمتجهات الذاتية), دوران 90° (لا متجهات ذاتية حقيقية), المصفوفة M من شاشة التحويل
- القوة n في Mⁿ 1–10
- إظهار النقاط x₀ وMx₀ وM²x₀ و…
أسئلة للاستكشاف
- أي مصفوفة تضاعف مساحة الحرف F ثلاث مرات دون عكسه، وأيها تعكسه مع الحفاظ على مساحته؟
- هل يعطي دوران 90° ثم انعكاس في محور السينات الصورة نفسها التي يعطيها الترتيب الآخر، وما التحويل المفرد المكافئ لكل منهما؟
- لماذا يتجه متجه نحو أحد المتجهات الذاتية عند ضربه في مصفوفة انتقال مرة بعد مرة؟
