Vecteurs de l'espace – somme, produit scalaire, angle
MathématiquesVecteurs et géométrie repérée17–18 ans
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À suivre dans Vecteurs et géométrie repérée
Un repère Oxyz tourne à la souris ou au doigt et montre deux vecteurs u et v de coordonnées données. La simulation trace le pavé des coordonnées de chaque vecteur et le parallélogramme de la somme u + v, puis calcule les normes, le produit scalaire u·v = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂ et l'angle entre les vecteurs ; faites glisser les curseurs des coordonnées pour voir quand u ⊥ v ou quand ils sont colinéaires. Le bouton 2D | 3D ouvre un repère Oxyz construit avec three.js montrant u, v, leur somme, leur différence, les pavés des coordonnées et l'arc de l'angle ; vous pouvez le faire tourner et zoomer, les valeurs restent identiques. L'option Produit vectoriel ajoute u × v, orthogonal aux deux selon la règle de la main droite, les aires du parallélogramme et du triangle ‖u × v‖ et ½‖u × v‖, le plan passant par O, U et V, des exemples de physique (moment, travail) et trois tâches autocorrigées.
Leçon : Vecteurs de l'espace, repères, expression analytique des opérations sur les vecteurs
Ce qu’elle montre
Dans un repère Oxyz, un vecteur est défini par trois coordonnées, qui sont les longueurs algébriques des arêtes de son pavé des coordonnées, et sa norme vaut √(x² + y² + z²). La somme u + v est la diagonale du parallélogramme construit sur u et v, et la différence u − v va de l'extrémité de v à celle de u. Le produit scalaire u·v = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂ donne l'angle par cos(u, v) = u·v/(|u|·|v|) ; il est nul exactement quand les vecteurs sont orthogonaux. Le produit vectoriel u × v est orthogonal aux deux et sa norme ‖u‖‖v‖ sin θ est l'aire du parallélogramme.
Mode d’emploi
Réglez les trois coordonnées de u et v et activez Pavé des coordonnées pour associer chaque coordonnée à une arête. Faites glisser le fond pour faire tourner la vue et vérifier que la figure est vraiment en trois dimensions ; Vue initiale revient au départ. Ajustez une coordonnée de v jusqu'à obtenir u·v = 0, puis regardez l'angle sous plusieurs directions. Passez en 3D pour une vue orientable et zoomable, avec les mêmes valeurs. Cochez Produit vectoriel u × v pour voir la règle de la main droite et les aires.
Paramètres modifiables
- u : abscisse x₁ -5–5
- u : ordonnée y₁ -5–5
- u : cote z₁ -5–5
- v : abscisse x₂ -5–5
- v : ordonnée y₂ -5–5
- v : cote z₂ -5–5
- Produit vectoriel u × v
- Aire Parallélogramme, Triangle
Questions à explorer
- Avec u = (3 ; 1 ; 2), quel vecteur v est orthogonal à u ? Comment le vérifier sans regarder la figure ?
- Comment calcule-t-on la norme d'un vecteur à partir de ses trois coordonnées ? La règle se vérifie-t-elle sur le pavé ?
- Deux vecteurs semblent perpendiculaires à l'écran. Pourquoi pourraient-ils ne pas l'être, et comment trancher ?
