Vektor dalam ruang 3D – jumlah, hasil kali titik, sudut
MatematikaVektor dan geometri analitikUsia 17–18
Gunakan di kelas Anda: siswa membukanya lewat tautan atau kode QR, tanpa perlu akun.
Berikutnya di Vektor dan geometri analitik
Sistem koordinat Oxyz dapat diputar dengan tetikus atau jari, menampilkan dua vektor u dan v dengan koordinat tertentu. Simulasi menggambar kotak koordinat setiap vektor dan jajargenjang untuk jumlah u + v, serta menghitung panjang, hasil kali titik u·v = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂, dan sudut antara kedua vektor; seret penggeser koordinat untuk melihat kapan u ⊥ v atau kapan keduanya searah. Tombol 2D | 3D membuka sistem Oxyz yang dibuat dengan three.js berisi u, v, jumlah, selisih, kotak koordinat, dan busur sudut; Anda dapat memutar dan memperbesarnya, dan angkanya tetap sama. Opsi Perkalian silang menambahkan u × v yang tegak lurus terhadap keduanya menurut aturan tangan kanan, luas jajar genjang dan segitiga |u × v| dan ½|u × v|, bidang melalui O, U, dan V, contoh fisika (torsi, usaha), serta tiga tugas yang diperiksa otomatis.
Pelajaran: Vektor dalam ruang, sistem koordinat, ekspresi koordinat operasi vektor
Yang ditunjukkan
Dalam sistem koordinat Oxyz, sebuah vektor dinyatakan dengan tiga koordinat, yaitu panjang bertanda rusuk-rusuk kotak koordinatnya, dan panjang vektornya √(x² + y² + z²). Jumlah u + v adalah diagonal jajargenjang yang dibentuk oleh u dan v, sedangkan selisih u − v berawal di ujung v dan berakhir di ujung u. Hasil kali titik u·v = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂ memberikan sudut melalui cos(u, v) = u·v/(|u|·|v|); nilainya nol tepat ketika kedua vektor saling tegak lurus. Perkalian silang u × v tegak lurus terhadap keduanya, dan panjangnya |u||v| sin θ sama dengan luas jajar genjang.
Cara menggunakan
Atur ketiga koordinat u dan v, lalu aktifkan Kotak koordinat untuk mengaitkan setiap koordinat dengan satu rusuk. Seret latar untuk memutar tampilan dan memastikan gambarnya benar-benar tiga dimensi; Atur ulang mengembalikan tampilan awal. Ubah satu koordinat v hingga u·v = 0, lalu amati sudutnya dari beberapa arah. Beralihlah ke 3D untuk tampilan yang dapat diputar dan diperbesar dengan angka yang sama. Centang Perkalian silang u × v untuk melihat aturan tangan kanan dan luasnya.
Parameter yang dapat diubah
- u: koordinat x₁ -5–5
- u: koordinat y₁ -5–5
- u: koordinat z₁ -5–5
- v: koordinat x₂ -5–5
- v: koordinat y₂ -5–5
- v: koordinat z₂ -5–5
- Perkalian silang u × v
- Luas Jajar genjang, Segitiga
Pertanyaan untuk dijelajahi
- Dengan u = (3; 1; 2), vektor v mana yang tegak lurus u? Bagaimana memeriksanya tanpa melihat gambar?
- Bagaimana panjang vektor dihitung dari ketiga koordinatnya? Apakah aturan itu cocok dengan kotak koordinat?
- Dua vektor tampak tegak lurus di layar. Mengapa belum tentu demikian, dan bagaimana Anda memastikannya?
