Vectores en el espacio – suma, producto escalar, ángulo
MatemáticasVectores y geometría analíticaEdades 17–18
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Un sistema de coordenadas Oxyz gira con el ratón o con el dedo y muestra dos vectores u y v de coordenadas dadas. La simulación dibuja la caja de coordenadas de cada vector y el paralelogramo de la suma u + v, y calcula los módulos, el producto escalar u·v = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂ y el ángulo entre los vectores; mueve los deslizadores de coordenadas para ver cuándo u ⊥ v o cuándo tienen la misma dirección. El botón 2D | 3D abre un sistema Oxyz construido con three.js con u, v, su suma y su diferencia, las cajas de coordenadas y el arco del ángulo; puedes girarlo y ampliarlo, y los valores no cambian. La opción Producto vectorial añade u × v, perpendicular a ambos según la regla de la mano derecha, las áreas del paralelogramo y del triángulo |u × v| y ½|u × v|, el plano por O, U y V, ejemplos de física (momento de torsión, trabajo) y tres tareas autocorregidas.
Lección: Vectores en el espacio, sistemas de coordenadas, expresión en coordenadas de las operaciones con vectores
Qué muestra
En un sistema de coordenadas Oxyz, un vector se da con tres coordenadas, que son las longitudes con signo de las aristas de su caja de coordenadas, y su módulo es √(x² + y² + z²). La suma u + v es la diagonal del paralelogramo construido sobre u y v, y la diferencia u − v va del extremo de v al extremo de u. El producto escalar u·v = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂ da el ángulo mediante cos(u, v) = u·v/(|u|·|v|); vale cero justo cuando los vectores son perpendiculares. El producto vectorial u × v es perpendicular a ambos y su módulo |u||v| sen θ es el área del paralelogramo.
Cómo usarla
Fija las tres coordenadas de u y v y activa Caja de coordenadas para relacionar cada coordenada con una arista. Arrastra el fondo para girar la vista y comprobar que la figura es de verdad tridimensional; Restablecer vista vuelve al inicio. Ajusta una coordenada de v hasta que u·v = 0 y mira el ángulo desde varias direcciones. Cambia a 3D para una vista que se puede girar y ampliar, con los mismos números. Marca Producto vectorial u × v para ver la regla de la mano derecha y las áreas.
Parámetros que puedes cambiar
- u: coordenada x₁ -5–5
- u: coordenada y₁ -5–5
- u: coordenada z₁ -5–5
- v: coordenada x₂ -5–5
- v: coordenada y₂ -5–5
- v: coordenada z₂ -5–5
- Producto vectorial u × v
- Área Paralelogramo, Triángulo
Preguntas para explorar
- Con u = (3; 1; 2), ¿qué vector v es perpendicular a u? ¿Cómo lo compruebas sin mirar la figura?
- ¿Cómo se calcula el módulo de un vector a partir de sus tres coordenadas? ¿Se cumple en la caja de coordenadas?
- Dos vectores parecen perpendiculares en la pantalla. ¿Por qué podrían no serlo y cómo lo decides?
