Vektoren im Raum – Summe, Skalarprodukt, Winkel
MathematikVektoren und analytische GeometrieAlter 17–18
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Als Nächstes in Vektoren und analytische Geometrie
Ein Oxyz-Koordinatensystem lässt sich mit Maus oder Finger drehen und zeigt zwei Vektoren u und v mit gegebenen Koordinaten. Die Simulation zeichnet den Koordinatenquader jedes Vektors und das Parallelogramm der Summe u + v und berechnet Längen, das Skalarprodukt u·v = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂ sowie den Winkel zwischen den Vektoren; ziehen Sie die Koordinatenregler, um zu sehen, wann u ⊥ v gilt oder beide gleich gerichtet sind. Über den Schalter 2D | 3D öffnet sich ein mit three.js aufgebautes Oxyz-System mit u, v, Summe, Differenz, Koordinatenquadern und Winkelbogen; Sie können es drehen und zoomen, die Zahlenwerte bleiben gleich. Die Option Vektorprodukt ergänzt u × v, das nach der Rechte-Hand-Regel auf beiden senkrecht steht, die Flächen von Parallelogramm und Dreieck |u × v| und ½|u × v|, die Ebene durch O, U und V, Beispiele aus der Physik (Drehmoment, Arbeit) und drei selbstprüfende Aufgaben.
Lektion: Vektoren im Raum, Koordinatensysteme, Vektorrechnung in Koordinaten
Was sie zeigt
In einem Oxyz-Koordinatensystem ist ein Vektor durch drei Koordinaten gegeben, die vorzeichenbehafteten Kantenlängen seines Koordinatenquaders; seine Länge ist √(x² + y² + z²). Die Summe u + v ist die Diagonale des von u und v aufgespannten Parallelogramms, die Differenz u − v führt von der Spitze von v zur Spitze von u. Das Skalarprodukt u·v = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂ liefert den Winkel über cos(u, v) = u·v/(|u|·|v|); es ist genau dann null, wenn die Vektoren orthogonal sind. Das Vektorprodukt u × v steht auf beiden senkrecht, sein Betrag |u||v| sin θ ist die Fläche des Parallelogramms.
So funktioniert es
Stellen Sie die drei Koordinaten von u und v ein und schalten Sie Koordinatenquader ein, um jede Koordinate einer Kante zuzuordnen. Ziehen Sie den Hintergrund, um die Ansicht zu drehen und zu prüfen, dass das Bild wirklich räumlich ist; Standardansicht setzt sie zurück. Verändern Sie eine Koordinate von v, bis u·v = 0 gilt, und betrachten Sie den Winkel aus mehreren Richtungen. Wechseln Sie zu 3D für eine dreh- und zoombare Ansicht mit denselben Werten. Aktivieren Sie Vektorprodukt u × v, um die Rechte-Hand-Regel und die Flächen zu sehen.
Einstellbare Parameter
- u: x-Koordinate x₁ -5–5
- u: y-Koordinate y₁ -5–5
- u: z-Koordinate z₁ -5–5
- v: x-Koordinate x₂ -5–5
- v: y-Koordinate y₂ -5–5
- v: z-Koordinate z₂ -5–5
- Vektorprodukt u × v
- Fläche Parallelogramm, Dreieck
Fragen zum Erkunden
- Welcher Vektor v ist orthogonal zu u = (3; 1; 2)? Wie prüfen Sie das ohne das Bild?
- Wie berechnet man die Länge eines Vektors aus seinen drei Koordinaten? Stimmt die Regel am Koordinatenquader?
- Zwei Vektoren wirken auf dem Bildschirm senkrecht. Warum müssen sie es nicht sein, und wie entscheiden Sie?
